高考數(shù)學(xué)選座 高考數(shù)學(xué)比較大小問(wèn)題解決方法
高考數(shù)學(xué)里的排列與組合問(wèn)題怎么解決?我是福建考生…高考時(shí)考生的座位是一科更換一次嗎。理綜和數(shù)學(xué)選擇題最好在幾分鐘之內(nèi)完成?一個(gè)聚會(huì)有4張桌子,18個(gè)人去參加,如果每個(gè)桌子最少座4人,那么有幾種座法??高三的數(shù)學(xué),最好能把?
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高考數(shù)學(xué)比較大小問(wèn)題解決方法
排列組合問(wèn)題的解題策略
關(guān)鍵詞: 排列組合,解題策略
一、相臨問(wèn)題——捆綁法
例1.7名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?
解:兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“捆綁”法解決,先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有 種。
評(píng)注:一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決,共有 種排法。
二、不相臨問(wèn)題——選空插入法
例2. 7名學(xué)生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法?
解:甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為: 種 .
評(píng)注:若 個(gè)人站成一排,其中 個(gè)人不相鄰,可用“插空”法解決,共有 種排法。
三、復(fù)雜問(wèn)題——總體排除法
在直接法考慮比較難,或分類(lèi)不清或多種時(shí),可考慮用“排除法”,解決幾何問(wèn)題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。
例3.(1996年全國(guó)高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).
解:從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種,但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形,有3條,所以滿(mǎn)足條件的三角形共有 -3=32個(gè).
四、特殊元素——優(yōu)先考慮法
對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題,可以考慮優(yōu)先安排特殊位置,然后再考慮其他位置的安排。
例4. (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法 種.
解:先考慮特殊元素(老師)的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置,有 種,而其余學(xué)生的排法有 種,所以共有 =72種不同的排法.
例5.(2000年全國(guó)高考題)乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,派5名隊(duì)員參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場(chǎng)安排共有 種.
解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊(duì)員,有 種排法,而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場(chǎng)安排共有 =252種.
五、多元問(wèn)題——分類(lèi)討論法
對(duì)于元素多,選取情況多,可按要求進(jìn)行分類(lèi)討論,最后總計(jì)。
例6.(2003年北京春招)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為(A )
A.42 B.30 C.20 D.12
解:增加的兩個(gè)新節(jié)目,可分為相臨與不相臨兩種情況:1.不相臨:共有A62種;2.相臨:共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為:A62 +A22A61=42 ,故選A。
例7.(2003年全國(guó)高考試題)如圖, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?(以數(shù)字作答)
解:區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰,而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰,因此,可以涂三種或四種顏色. 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.
六、混合問(wèn)題——先選后排法
對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題,可采取先選取元素,后進(jìn)行排列的策略.
例8.(2002年北京高考)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案共有( )
A. 種 B. 種
C. 種 D. 種
解:本試題屬于均分組問(wèn)題。 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有: 種,故選A。
例9.(2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有( )
A.24種 B.18種 C.12種 D.6種
解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12,故應(yīng)選C.
七.相同元素分配——檔板分隔法
例10.把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室,每個(gè)閱覽室分得的書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解,并思考這些方法是否適合更一般的情況?
本題考查組合問(wèn)題。
解:先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書(shū)、2本書(shū);再對(duì)余下的7本書(shū)進(jìn)行分配,保證每個(gè)閱覽室至少得一本書(shū),這相當(dāng)于在7本相同書(shū)之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”(一般可視為“隔板”)共有 種插法,即有15種分法。
總之,排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為:排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;分類(lèi)為加,分步為乘。
具體說(shuō),解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑:
(1)以元素為主體,即先滿(mǎn)足特殊元素的要求,再考慮其他元素。
(2)以位置為主體,即先滿(mǎn)足特殊位置的要求,再考慮其他位置。
(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不合要求的排列組合數(shù)。
排列組合問(wèn)題的解題方略
湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué) 張征洪
排列組合知識(shí),廣泛應(yīng)用于實(shí)際,掌握好排列組合知識(shí),能幫助我們?cè)谏a(chǎn)生活中,解決許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。同時(shí)排列組合問(wèn)題歷來(lái)就是一個(gè)老大難的問(wèn)題。因此有必要對(duì)排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié),以期充分掌握排列組合知識(shí)。
首先,談?wù)勁帕薪M合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律:
1)使用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定,可以分類(lèi)來(lái)完成這件事時(shí)用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”,需要分步來(lái)完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”;那么,怎樣確定是分類(lèi),還是分步驟?“分類(lèi)”表現(xiàn)為其中任何一類(lèi)均可獨(dú)立完成所給的事件,而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類(lèi)辦法互不干擾,相互獨(dú)立,彼此間交集為空集,并集為全集,不論哪類(lèi)辦法都能將事情單獨(dú)完成,分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。
2)排列與組合定義相近,它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。
3)復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà) “樹(shù)圖 ”、“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化,從而尋求解題途徑,由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn),因此常常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)。
4)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi),按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問(wèn)題的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制詞的意義。
5)處理排列、組合綜合問(wèn)題,一般思想是先選元素(組合),后排列,按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類(lèi)”和按事件的過(guò)程“分步”,始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本原理和方法,通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類(lèi)和分步的基本技能,保證每步獨(dú)立,達(dá)到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏。
6)在解決排列組合綜合問(wèn)題時(shí),必須深刻理解排列組合的概念,能熟練地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi),牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì),容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)。
總之,解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律,即:分類(lèi)相加,分步相乘,排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;正難則反,間接排除等。
其次,我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律,靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí),還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。
一.特殊元素(位置)的“優(yōu)先安排法”:對(duì)于特殊元素(位置)的排列組合問(wèn)題,一般先考慮特殊,再考慮其他。
例1、 用0,2,3,4,5,五個(gè)數(shù)字,組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有( )。
A. 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)
[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù),故末尾數(shù)字必為偶數(shù),又因?yàn)?不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,應(yīng)該優(yōu)先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分兩類(lèi):1)0排末尾時(shí),有A42個(gè),2)0不排在末尾時(shí),則有C21 A31A31個(gè),由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理,共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè),選B。
二.總體淘汰法:對(duì)于含否定的問(wèn)題,還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè),排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位,而且數(shù)字3,5也不能排末位,這兩種排法要排除,故有A53--3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù)。
三.合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題,按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi),按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步,做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏。
四.相鄰問(wèn)題用捆綁法:在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí),先整體考慮,將相鄰的元素“捆綁”起來(lái),看作一“大”元素與其余元素排列,然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法.
例2、有8本不同的書(shū);其中數(shù)學(xué)書(shū)3本,外語(yǔ)書(shū)2本,其它學(xué)科書(shū)3本.若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上,讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起,外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種.(結(jié)果用數(shù)值表示)
解:把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū),2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一起看成一本大書(shū),與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素,共有A55種排法;又3本數(shù)學(xué)書(shū)有A33種排法,2本外語(yǔ)書(shū)有A22種排法;根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).
注:運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí),一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題.
五.不相鄰問(wèn)題用“插空法”:不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開(kāi).解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱(chēng)插空法.
例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè).(用數(shù)字作答)
解:由于要求1與2相鄰,2與4相鄰,可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素,這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2,兩邊排1和4,因此大元素內(nèi)部共有A22種排法,再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素,其內(nèi)部也有A22種排法,與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素,先將這三個(gè)元素排好,共有A33種排法,再?gòu)那懊媾藕玫娜齻€(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè),把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可,共有A42種插法,所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42=288(種).
注:運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí),要注意欲插入的位置是否包含兩端位置.
六.順序固定用“除法”:對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列,然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。
例4、6個(gè)人排隊(duì),甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種?
分析:不考慮附加條件,排隊(duì)方法有A66種,而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種)
例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生,高矮不相等,現(xiàn)在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法。
解:先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生,有A74 種排法,余下的3個(gè)位置給女生,只有一種排法,故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種)
七.分排問(wèn)題用“直排法”:把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題,可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。
例6、7個(gè)人坐兩排座位,第一排3個(gè)人,第二排坐4個(gè)人,則不同的坐法有多少種?
分析:7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐,再無(wú)其它條件,故兩排可看作一排來(lái)處理,不同的坐法共有A77種。
八.逐個(gè)試驗(yàn)法:題中附加條件增多,直接解決困難時(shí),用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。
例7.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的方格中,每方格填1個(gè),方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有( )
A.6 B.9 C.11 D.23
解:第一方格內(nèi)可填2或3或4,如第一填2,則第二方格可填1或3或4,若第二方格內(nèi)填1,則后兩方格只有一種方法;若第二方格填3或4,后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法,故選B
九、構(gòu)造模型 “隔板法”
對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題,可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景,構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。
例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解?
分析:建立隔板模型:將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目,對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解,故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .
又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),可用此法解。
十.正難則反——排除法
對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問(wèn)題,若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論,可以考慮“總體去雜”,即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉,從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法.
例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同的取法共有( )種.
A.140種 B.80種 C.70種 D.35種
解:在被取出的3臺(tái)中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意,因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種),故選C.
注:這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題.
十一.逐步探索法:對(duì)于情況復(fù)雜,不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要認(rèn)真分析,探索出其規(guī)律
例10、從1到100的自然數(shù)中,每次取出不同的兩個(gè)數(shù),使它們的和大于100,則不同的取法種數(shù)有多少種。
解:兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù),1+100>100,1為被加數(shù)時(shí)有1種,2為被加數(shù)有2種,…,49為被加數(shù)的有49種,50為被加數(shù)的有50種,但51為被加數(shù)有49種,52為被加數(shù)有48種,…,99為被捕加數(shù)的只有1種,故不同的取法有(1+2+3+…+50)+(49+48+…+1)=2500種
十二.一一對(duì)應(yīng)法:
例11.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽(即一場(chǎng)失敗要退出比賽)最后產(chǎn)生一名冠軍,要比賽幾場(chǎng)?
解:要產(chǎn)生一名冠軍,要淘汰冠軍以外的所有選手,即要淘汰99名選手,要淘汰一名就要進(jìn)行一場(chǎng),故比賽99場(chǎng)。
應(yīng)該指出的是,以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問(wèn)題常用方法,并非絕對(duì)的。數(shù)學(xué)是一門(mén)非常靈活的課程,同一問(wèn)題有時(shí)會(huì)有多種解法,這時(shí),要認(rèn)真思考和分析,靈活選擇最佳方法.還有像多元問(wèn)題“分類(lèi)法”、環(huán)排問(wèn)題“線排法”、“等概率法”等在此不贅述了。
福建高考同一考場(chǎng)答題卡一樣嗎
不,座位固定,四科都一樣。
1張方桌坐4人
先每個(gè)桌子分配四個(gè)人,最后兩個(gè)人選桌子
先選出2個(gè)人,剩下16個(gè)人分4組。然后分2個(gè)人
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