高考證明勾股定理 高中空間勾股定理怎么證明
#高考提分#勾股定理的證明方法,不要影射,不要向量,證明勾股定理是哪一年高考數(shù)學(xué)題,最簡(jiǎn)單的勾股定理的證明方法是什么?勾股定理的十六種證明方法,勾股定理的幾種證明方法,勾股定理16種證明方法。
本文導(dǎo)航
高中空間勾股定理怎么證明
勾股定理的證明方法
勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史,兩千多年來(lái),人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣,因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際,以至于古往今來(lái),下至平民百姓,上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明.下面結(jié)合幾種圖形來(lái)進(jìn)行證明。
一、傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法(圖1)
左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、,斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、,斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長(zhǎng)都是),所以可以列出等式,化簡(jiǎn)得。
在西方,人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的,但遺憾的是,他的證明方法已經(jīng)失傳,這是傳說(shuō)中的證明方法,這種證明方法簡(jiǎn)單、直觀、易懂。
二、趙爽弦圖的證法(圖2)
第一種方法:邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、,斜邊為 的直
角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積加上4個(gè)直角三角形的面積等于外圍正方形的面積,所以可以列出等式,化簡(jiǎn)得。
第二種方法:邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、,斜邊為 的
角三角形拼接形成的(虛線表示),不過(guò)中間缺出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形“小洞”。
因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積,所以可以列出等式,化簡(jiǎn)得。
這種證明方法很簡(jiǎn)明,很直觀,它表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神,是我們中華民族的驕傲。
三、美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法(圖3)
這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、,斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為
的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積,所以可以列出等式,化簡(jiǎn)得。
這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式,從而使證明更加簡(jiǎn)潔,它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
勾股定理判斷直角三角形題型
是1979年,
數(shù)學(xué)的第4題,
敘述并證明勾股定理。
勾股定理一共幾種證明方法
簡(jiǎn)單的勾股定理的證明方法如下:
做8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形。
發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形,剛好可以組成邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形;四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形也剛好湊成邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形。
所以可以看出以上兩個(gè)大正方形面積相等。 列出式子可得:
拓展資料:
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形,并且直角邊中較小者為勾,另一長(zhǎng)直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個(gè)定理為勾股定理,也有人稱商高定理。
勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法,是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó),商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。
參考資料:勾股定理_百度百科
勾股定理的最簡(jiǎn)單證明方法
加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達(dá)哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、向明達(dá)證法、楊作梅證法、李銳證法
例,如下圖:
設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。
設(shè)△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因?yàn)锳B=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。
因?yàn)镃、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。
同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個(gè)結(jié)果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。
擴(kuò)展資料性質(zhì):
1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端;
2、勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理,即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理;
3、勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn),引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī),大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解;
4、勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程,它引出了費(fèi)馬大定理;
5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理,并有巨大的實(shí)用價(jià)值,這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠,被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”,而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1971年5月15日,尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票,這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的,勾股定理是其中之首。
勾股定理的三種證明方法最簡(jiǎn)單
1.
【證法1】(課本的證明)做8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形...
2.
【證法2】(鄒元治證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角1ab2形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼...
3.
【證法3】(趙爽證明)以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角1ab2三角形的面積等于.把這四個(gè)直角...
4.
【證法4】(1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角1ab形的面積...
勾股定理證明的三種證明方法
勾股定理16種證明方法
勾股定理:直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,即在以a、b為直角邊,c為斜邊的三角形中有a^2+b^2=c^2。
方法
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證法一(鄒元治證明):以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形,按下圖所示相拼,使A、E、B三點(diǎn)共線,B、F、C 三點(diǎn)共線,C、G、D三點(diǎn)共線。∵Rt△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共線∴∠HEF=90°,四邊形EFGH為正方形由于上圖中的四個(gè)直角三角形全等,易得四邊形ABCD為正方形∴正方形ABCD的面積=四個(gè)直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴(a+b)^2=4?(1/2)?ab+c^2,整理得a^2+b^2=c^2
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證法二(課本的證明):如上圖所示兩個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形面積相等,所以a^2+b^2+4?(1/2)?ab=c^2+4?(1/2)?ab,故a^2+b^2=c^2。
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證法三(趙爽弦圖證明):以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形,按下圖所示相拼。易得四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面積=四個(gè)直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴c^2=4?(1/2)?ab+(b-a)^2 ,整理得a^2+b^2=c^2
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證法四(總統(tǒng)證明):如下圖所示。易得△CDE為等腰直角三角形∴梯形ABCD的面積=兩個(gè)直角三角形的面積+一個(gè)等腰三角形的面積∴1/2?(a+b)?(a+b)=2?(1/2)?ab+(1/2)?c^2,整理得a^2+b^2=c^2
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證法五(梅文鼎證明):以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形,按下圖所示相拼,使DEF在同一直線上,過(guò)C點(diǎn)作CI垂直于DF,交DF于I點(diǎn)。易得四邊形ABEG、四邊形CBDI、四邊形FGHI都為正方形。∴多邊形EGHCB的面積=正方形ABEG的面積-兩個(gè)直角三角形的面積且多邊形EGHCB的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積-兩個(gè)直角三角形的面積∴正方形ABEG的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積∴c2=a2+b2
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證法六(項(xiàng)明達(dá)證明):以a、b為直角邊,以c為斜邊做兩個(gè)全等的三角形,做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,按下圖所示相拼,使E、A、C在同一條直線上。過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥AC,交AC于P點(diǎn)分別過(guò)F、B作QP的垂線段,交點(diǎn)分別為M、N易得四邊形ABQF為正方形利用全等三角形的判定定理角角邊(AAS)可得△AEF≌△QMF≌△BNQ,此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為梅文鼎證明。
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證法七(歐幾里得證明):在直角邊為a、b,斜邊為c的直角三角形中,分別以a、b、c為邊作正方形,如下圖所示。連接FB和CD,過(guò)C點(diǎn)作CN⊥DE交DE于E點(diǎn),交AB于M點(diǎn)?!逜F=AC,AB=AD,∠FAB=∠CAD,∴△FAB≌△CAD(SAS)而△FAB的面積=△CAD的面積=(?)?ac sin(90°+∠CAB)=(?)a2∵△CAD與矩形AMND等底等高∴矩形AMND的面積為△CAD面積的兩倍,即a2同理可得矩形BMNE的面積為b2∵正方形ADEB的面積=矩形AMND的面積+矩形BMNE的面積∴c2=a2+b2
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證法八(相似三角形性質(zhì)證明)如下圖所示,在直角三角形ABC中,AC=b,BC=a,AB=c,∠ACB=90°,過(guò)C點(diǎn)作CD垂直于AB,交AB于D點(diǎn)。∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B∴△BDC∽△BCA∴BD∶BC=BC∶BA∴BC2=BD?BA同理可得AC2=AD?AB∴BC2+AC2=BD?BA+AD?AB=(BD+AD)?AB=AB2,即a2+b2=c2
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證法九(楊作玫證明):做兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩直角邊分別為a、b(b>a)斜邊長(zhǎng)為c,再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,按下圖所示相拼。過(guò)A點(diǎn)作AG⊥AC,交DF于G點(diǎn),AG交DE于H點(diǎn)。過(guò)B作BI⊥AG,垂足為I點(diǎn)。過(guò)E點(diǎn)作EJ與CB的延長(zhǎng)線垂直,垂足為J點(diǎn),EJ交AG于K點(diǎn),交DB于L點(diǎn)?!摺螧AE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC∵GA⊥AC,BC⊥AC∴GA∥BC∵EJ⊥BC∴EJ⊥GA∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c∴△EAK≌△BAC(AAS)∴EK=a,KA=b由作法易得四邊形BCAI為矩形∴AI=a,KI=b-a∵△BAC≌△EDF∴△EAK≌△EDF∴∠FED=∠KEA∴∠FEK=90°∴四邊形EFGK為正方形,同時(shí)四邊形DGIB為直角梯形用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖),則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為c2=S1+S2+S3+S4+S5 ①∵S8+S3+S4=?[b+(b-a)]?[a+(b-a)]=b2-?ab ,S5=S8+S9∴S3+S4=b2-?ab-S8=b2-S1-S8②把②代入①得c2=S1+S2+b2-S1-S8+S8+S9=b2+S2+S9=b2+a2
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證法十(李銳證明):設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a),斜邊長(zhǎng)為c。做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,按下圖相拼,使AEG三點(diǎn)共線,過(guò)Q點(diǎn)作GM⊥AG,交點(diǎn)為M,用數(shù)字表示面積的編號(hào)。∵∠TBE=∠ABH=90°∴∠TBH=∠EBA∵∠T=∠BEA=90°,BT=BE=b∴△HBT≌△ABE(ASA)∴HT=AE=a,GH=GT-HT=b-a∵∠GHF+∠BHT=90°,∠TBH+∠BHT=90°∴∠GHF=∠TBH=∠DBC∵BD=BE-ED=b-a,∠G=∠BDC=90°∴△GHF≌△DBC(ASA),S7=S2由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM∵AB=AQ=c∴△ABE≌△QAM(AAS)∴△QAM≌△HBT,S5=S8同時(shí)有AR=AE=QM=a,且∠QFM與∠ACR分別為∠GHF與∠DBC的余角∴∠QFM=∠ACR∵∠R=∠FMQ=90°∴△FMQ≌△CRA(AAS),S4=S6∵c2=S1+S2+S3+S4+S5,a2=S1+S6,b2=S3+S7+S8S7=S2,S8=S5,S4=S6∴a2+b2=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c2
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證法十一(利用切割線定理證明):在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=b,AB=c,BC=a,以B為圓心,a為半徑畫圓,AB交圓與D點(diǎn),AB的延長(zhǎng)線交圓于E點(diǎn)。根據(jù)切割線定理(從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是割線和這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng))可得:AC2=AD?AE∴b2=(c-a)(c+a)=c2-a2∴a2+b2=c2
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證法十二(利用多列米定理證明):在直角三角形ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,斜邊AB=c,過(guò)A點(diǎn)作AD∥CB,過(guò)B點(diǎn)作BD∥CA,則四邊形ACBD為矩形,矩形ACBD內(nèi)接于唯一的一個(gè)圓。根據(jù)多米列定理(圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和)可得:AB?DC=DB?AC+AD?CB∵AB=DC=c,DB=AC=b,AD=CB=a∴c2=b2+a2
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證法十三(作直角三角形的內(nèi)切圓證明):在Rt△ABC中,設(shè)直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c。作Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O,切點(diǎn)分別為D、E、F,如下圖所示,設(shè)圓O的半徑為r?!逜B=AF+BF,CB=BD+CD,AC=AE+CE∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r∴a+b=2r+c(a+b)2=(2r+c)2a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2∵S△ABC=?ab∴4S△ABC=2ab∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?cr+?ar+?br=?(a+b+c)r=?(2r+c+c)r=r2+rc∴4(r2+rc)=2ab∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2
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證法十四(利用反證法證明):在Rt△ABC中,設(shè)直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c。過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB,垂足為D點(diǎn),如下圖所示。假設(shè)a2+b2≠c2,即AC2+BC2≠AB2則由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知AC2≠AB·AD或BC2≠AB·BD即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB在△ADC和△ACB中∵∠A=∠A∴若AD∶AC≠AC∶AB,則∠ADC≠∠ACB在△CBD和△ACB中∵∠B=∠B∴若BD∶BC≠BC∶AB,則∠CDB≠∠ACB∵∠ACB=90°∴∠ADC≠90°,∠CDB≠90°這與CD⊥AB矛盾,所以假設(shè)不成立∴a2+b2=c2
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證法十五(辛卜松證明):直角三角形以a、b為直角邊,以c為斜邊。作邊長(zhǎng)為a+b的正方形。把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分,則正方形ABCD的面積為(a+b)2=a2+b2+2ab把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分,則正方形ABCD的面積為(a+b)2=4x?ab+c2=2ab+c2∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2
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證法十六(陳杰證明):設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b(b>a),斜邊的長(zhǎng)為c。做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上。 用數(shù)字表示面積的編號(hào),如下圖所示。在EH = b上截取ED = a,連結(jié)DA、DC,則 AD = c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b又∵ ∠CMD = 90°,CM = a, ∠AED = 90°, AE = b∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°, ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°∴ ∠ADC = 90°∴ 作AB∥DC,CB∥DA,則四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°∴ ∠BAF=∠DAE。連結(jié)FB,在ΔABF和ΔADE中∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)∴ ∠AFB = ∠AED = 90°,BF = DE = a∴ 點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上在RtΔABF和RtΔBCG中,∵ AB = BC = c,BF = CG = a,∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)∵c2=S?+S?+S?+S?, b2=S?+S?+S?, a2=S?+S?,S?=S?=S?=S?+S?,∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S? =c2∴ a2+b2=c2
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