系數(shù)矩陣怎么化為行最簡 用初等行變換將矩陣化為行最簡型矩陣？

齊次線性方程組的系數(shù)矩陣如何化成行最簡？一個矩陣怎么化成行階梯和行最簡？如圖所示，線性代數(shù)如何將其化為行最簡形矩陣？用初等行變換將矩陣化為行最簡型矩陣，矩陣簡化成行最簡形矩陣的技巧。

本文導航

• 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣如何化成行最簡
• 一個矩陣怎么化成行階梯和行最簡？
• 如圖所示，線性代數(shù)如何將其化為行最簡形矩陣
• 用初等行變換將矩陣化為行最簡型矩陣？
• 矩陣簡化成行最簡形矩陣的技巧

齊次線性方程組的系數(shù)矩陣如何化成行最簡

使用3種初等行變換，化成階梯形，

然后繼續(xù)化，每行第1個非零元，化成1，相應其余列化為0，即可

一個矩陣怎么化成行階梯和行最簡？

步驟如下：

矩陣的一個重要用途是解線性方程組。線性方程組中未知量的系數(shù)可以排成一個矩陣，加上常數(shù)項，則稱為增廣矩陣。另一個重要用途是表示線性變換，即是諸如f(x) 4x之類的線性函數(shù)的推廣。設(shè)定基底后，某個向量v可以表示為m×1的矩陣,而線性變換f可以表示為行數(shù)為m的矩陣A，使得經(jīng)過變換后得到的向量f(v)可以表示成Av的形式。矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性。

如圖所示，線性代數(shù)如何將其化為行最簡形矩陣

在考研數(shù)學中，矩陣是線性代數(shù)的最基本概念和工具，對矩陣進行初等行變換是最常用的一種計算方法，用這種方法可以將一個矩陣化為行階梯形矩陣、行最簡形矩陣，可以用它求矩陣的逆陣、解線性方程組、求矩陣的秩、求特征向量，以及將一個向量表示為一組向量的線性組合等。下面小編對如何用可逆陣將矩陣化為行最簡形矩陣、以及行最簡形的一些應用做些分析總結(jié)，供考研復習和學習線性代數(shù)的同學參考。

一、用可逆陣將矩陣化為行最簡形矩陣的方法

1. 什么是行最簡形矩陣：若行階梯形矩陣的每個非零行的第一個非零元為1，且這些元素1所在的列的其它元素都為0，則稱該行階梯形矩陣為行最簡形矩陣。

二、典型例題分析：

從前面的分析和例題看到，求行最簡形矩陣用的是初等行變換法，初等行變換有三種：交換矩陣的兩行、某行乘以一個非零實數(shù)，以及將某行乘以一個非零實數(shù)加到另一行。化矩陣為行最簡形可以用于求矩陣的逆陣、解線性方程組和解矩陣方程等，希望各位同學熟練掌握這種方法，并在考試中計算時認真細心，不要因為粗心而丟分。

用初等行變換將矩陣化為行最簡型矩陣？

用初等行變換化行最簡形的技巧

1. 一般是從左到右,一列一列處理

2. 盡量避免分數(shù)的運算

具體操作:

1. 看本列中非零行的首非零元

若有數(shù)a是其余數(shù)的公因子, 則用這個數(shù)把第本列其余的數(shù)消成零.

2. 否則, 化出一個公因子

給你個例子看看吧.

例:

2 -1 -1 1 2

1 1 -2 1 4

4 -6 2 -2 4

3 6 -9 7 9

--a21=1 是第1列中數(shù)的公因子, 用它將其余數(shù)化為0 (*)

r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得

0 -3 3 -1 -6

1 1 -2 1 4

0 -10 10 -6 -12

0 3 -3 4 -3

--第1列處理完畢

--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3

-- 沒有公因子, 用r3+3r4w化出一個公因子

-- 但若你不怕分數(shù)運算, 哪就可以這樣:

-- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1

-- 這樣會很辛苦的 ^_^

r1+r4,r3+3r4 (**)

0 0 0 3 -9

1 1 -2 1 4

0 -1 1 6 -21

0 3 -3 4 -3

--用a32把第2列中其余數(shù)化成0

--順便把a14(下次要處理第4列)化成1

r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3)

0 0 0 1 -3

1 0 -1 7 -17

0 -1 1 6 -21

0 0 0 22 -66

--用a14=1將第4列其余數(shù)化為0

r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1

0 0 0 1 -3

1 0 -1 0 4

0 -1 1 0 -3

0 0 0 0 0

--首非零元化為1

r3*(-1), 交換一下行即得

1 0 -1 0 4

0 1 -1 0 3

0 0 0 1 -3

0 0 0 0 0

注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 為0

關(guān)鍵是要看這樣處理有什么好處

若能在化a31為0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了.

注(**): r1+r4 就是利用了1,4行數(shù)據(jù)的特點,先處理了a12.

總之, 要注意觀察元素的特殊性靈活處理.

矩陣簡化成行最簡形矩陣的技巧

矩陣簡化成行最簡形矩陣的技巧：

用初等變換化矩陣為行最簡形，主要是按照次序進行，先化為行階梯形，再化為行最簡形。

其中化成下三角的技巧主要就是“從左至右，從下至上”，找看起來最容易一整行都化為0或者盡可能都化為0的一行（一般是最下面一行），將其放至最后一行，然后通過初等變換將這一行的元素從左至右依次設(shè)法都變成0直至無法化簡。

擴展資料：

矩陣化簡常用公式與結(jié)論：

1、R(A)=R(A^T)。

2、R(A)+R(B)<=R(A+B)。

3、如果A可逆，則R(AB)=R(B);如果B可逆，則R(AB)=R(A)。

4、A是m*n矩陣，b是n*p階矩陣，如果AB=0那么R(A)+R(B)<=N。

5、設(shè)A是N階方陣（N>2），那么R(A*)=N，當R(A)=N;R(A*)=1,當R(A)=N-1；R(A*)=0；當R(A)<=N-1。

6、如果A是可逆矩陣，那么包括對稱性，可逆性，正交性等矩陣的重要性質(zhì)A與A*同時具有或同時不具有，即互為充要條件。