反常積分是什么 反常積分有什么符號(hào)
什么是反常積分?反常積分在什么時(shí)候取極限?“反常積分絕對(duì)收斂”是什么意思?反常積分的斂散性是什么?反常積分收斂判別口訣是什么?
本文導(dǎo)航
反常積分有什么符號(hào)
沒(méi)有什么定義,非初等積分都可稱為反常積分,絕大多數(shù)積分都是非初等積分
反常積分的幾個(gè)公式
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1、所謂反常積分,反常是指 improper,英語(yǔ)的意思是在未積分之前,
將上、下限分別代入被積函數(shù),出現(xiàn)無(wú)窮大的情況。這樣就有了:
第一種可能:就是無(wú)窮型間斷點(diǎn)的情況;
第二種可能:就是當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大、或負(fù)無(wú)窮大,因?yàn)闊o(wú)窮大
不是一個(gè)具體的數(shù),靠取極限判斷---這是一種取極限的情況。
第一種可能下的積分,我們稱為瑕積分;
第二種情況下的積分我們稱為廣義積分。
這兩種情況,英文都是improper integral / improper integration
2、在積分之后代入上下限時(shí),有可能再次取極限,這又是一種取極限的情況。
3、微積分傳入中國(guó)百多年,我們漢化了很多概念,也區(qū)分了很多概念,
如上面所說(shuō)的兩類improper intrgral,英文中并無(wú)此區(qū)分。
微分、導(dǎo)數(shù)的區(qū)分,可微、可導(dǎo)的概念,去心不去心鄰域、、、、、、、
都是中文特有的概念,已經(jīng)無(wú)法再納入微積分理論。
如何證明反常積分一致收斂
定義函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的任何有限區(qū)間內(nèi)可積,如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在,那么,稱之為∫(a,+∞) f(x)dx絕對(duì)收斂。
反常積分有兩種:
一種是積分的上限或者下限是無(wú)窮,另外一種是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的某點(diǎn)的極限趨向于無(wú)窮大。
絕對(duì)收斂:
級(jí)數(shù)中,如果;級(jí)數(shù)ΣUn各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ∣Un∣收斂,則稱級(jí)數(shù)ΣUn絕對(duì)收斂。
無(wú)窮限積分中,若;函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)間[a,b]上可積,且無(wú)窮限積分 ∫ 上限正無(wú)窮大下限a |f(x)| dx則稱 ∫ 上限正無(wú)窮大下限a f(x) dx 絕對(duì)收斂
無(wú)論是在;級(jí)數(shù)還是在無(wú)窮限積分中,它要么發(fā)散,要么;條件收斂,要么絕對(duì)收斂,三者必居其一。
比如f(x)=1/x 。f(x)在無(wú)窮處收斂于0,但∫ 1/x dx=ln(x)在1到正無(wú)窮是發(fā)散的。
經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收斂,分為絕對(duì)收斂和;條件收斂。
絕對(duì)收斂(Absolute Convergence),指的是,不論條件如何,窮國(guó)比富國(guó)收斂更快。
條件收斂(Conditional Convergence),指的是技術(shù)給定,其他條件一樣的話,人均產(chǎn)出低的國(guó)家,相對(duì)于人均產(chǎn)出高的國(guó)家,有著較高的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率,一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)在遠(yuǎn)離均衡狀態(tài)時(shí),比接近均衡狀態(tài)時(shí),增長(zhǎng)速度快。
無(wú)窮區(qū)間反常積分?jǐn)可⑿耘袛喾椒?/h3>
反常積分的斂散判斷本質(zhì)上是極限的存在性與無(wú)窮小或無(wú)窮大的比階問(wèn)題。首先要記住兩類反常積分的收斂尺度:
對(duì)第一類無(wú)窮限;;而言,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)必為無(wú)窮小,并且無(wú)窮小的階次不能低于某一尺度,才能保證收斂;
對(duì)第二類無(wú)界函數(shù);;而言,當(dāng)x→a+時(shí),f(x)必為無(wú)窮大。且無(wú)窮小的階次不能高于某一尺度,才能保證收斂;這個(gè)尺度值一般等于1,注意識(shí)別反常積分。[2]
反常積分一致收斂判別方法
反常積分收斂判別口訣:積分后計(jì)算出來(lái)是定值,不是無(wú)窮大,就是收斂;積分后計(jì)算出來(lái)的不是定值,是無(wú)窮大,就是發(fā)散。
廣義積分判別法不僅比傳統(tǒng)的判別法更加精細(xì),而且避免了傳統(tǒng)判別法需要尋找參照函數(shù)的困難。只要研究被積函數(shù)自身的性態(tài),即可知其斂散性。
反常積分特點(diǎn):
第一類反常積分,稱為無(wú)窮積分,指積分區(qū)間的上限或下限為無(wú)窮的積分。第二類反常積分,稱為反常積分,指被積函數(shù)在積分區(qū)間中含有不連續(xù)點(diǎn)的積分。在無(wú)窮積分的推廣定義中,兩個(gè)極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設(shè)兩個(gè)極限的收斂速度相同。
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