反常積分是什么 反常積分有什么符號(hào)

什么是反常積分？反常積分在什么時(shí)候取極限？“反常積分絕對(duì)收斂”是什么意思？反常積分的斂散性是什么？反常積分收斂判別口訣是什么？

本文導(dǎo)航

• 反常積分有什么符號(hào)
• 反常積分的幾個(gè)公式
• 如何證明反常積分一致收斂
• 無(wú)窮區(qū)間反常積分?jǐn)可⑿耘袛喾椒?/a>
• 反常積分一致收斂判別方法

反常積分有什么符號(hào)

沒(méi)有什么定義，非初等積分都可稱為反常積分，絕大多數(shù)積分都是非初等積分

反常積分的幾個(gè)公式

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1、所謂反常積分，反常是指 improper，英語(yǔ)的意思是在未積分之前，

將上、下限分別代入被積函數(shù)，出現(xiàn)無(wú)窮大的情況。這樣就有了：

第一種可能：就是無(wú)窮型間斷點(diǎn)的情況；

第二種可能：就是當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大、或負(fù)無(wú)窮大，因?yàn)闊o(wú)窮大

不是一個(gè)具體的數(shù)，靠取極限判斷---這是一種取極限的情況。

第一種可能下的積分，我們稱為瑕積分；

第二種情況下的積分我們稱為廣義積分。

這兩種情況，英文都是improper integral / improper integration

2、在積分之后代入上下限時(shí)，有可能再次取極限，這又是一種取極限的情況。

3、微積分傳入中國(guó)百多年，我們漢化了很多概念，也區(qū)分了很多概念，

如上面所說(shuō)的兩類improper intrgral，英文中并無(wú)此區(qū)分。

微分、導(dǎo)數(shù)的區(qū)分，可微、可導(dǎo)的概念，去心不去心鄰域、、、、、、、

都是中文特有的概念，已經(jīng)無(wú)法再納入微積分理論。

如何證明反常積分一致收斂

定義函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的任何有限區(qū)間內(nèi)可積，如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在，那么，稱之為∫(a,+∞) f(x)dx絕對(duì)收斂。

反常積分有兩種：

一種是積分的上限或者下限是無(wú)窮，另外一種是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的某點(diǎn)的極限趨向于無(wú)窮大。

絕對(duì)收斂：

級(jí)數(shù)中，如果;級(jí)數(shù)ΣUn各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ∣Un∣收斂，則稱級(jí)數(shù)ΣUn絕對(duì)收斂。

無(wú)窮限積分中，若;函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)間[a,b]上可積，且無(wú)窮限積分 ∫ 上限正無(wú)窮大下限a |f(x)| dx則稱 ∫ 上限正無(wú)窮大下限a f(x) dx 絕對(duì)收斂

無(wú)論是在;級(jí)數(shù)還是在無(wú)窮限積分中，它要么發(fā)散，要么;條件收斂，要么絕對(duì)收斂，三者必居其一。

比如f(x)=1/x 。f(x)在無(wú)窮處收斂于0，但∫ 1/x dx=ln(x)在1到正無(wú)窮是發(fā)散的。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收斂，分為絕對(duì)收斂和;條件收斂。

絕對(duì)收斂（Absolute Convergence），指的是，不論條件如何，窮國(guó)比富國(guó)收斂更快。

條件收斂（Conditional Convergence），指的是技術(shù)給定，其他條件一樣的話，人均產(chǎn)出低的國(guó)家，相對(duì)于人均產(chǎn)出高的國(guó)家，有著較高的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率，一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)在遠(yuǎn)離均衡狀態(tài)時(shí)，比接近均衡狀態(tài)時(shí)，增長(zhǎng)速度快。

無(wú)窮區(qū)間反常積分?jǐn)可⑿耘袛喾椒?/h3>

反常積分的斂散判斷本質(zhì)上是極限的存在性與無(wú)窮小或無(wú)窮大的比階問(wèn)題。首先要記住兩類反常積分的收斂尺度：

對(duì)第一類無(wú)窮限;;而言，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)必為無(wú)窮小，并且無(wú)窮小的階次不能低于某一尺度，才能保證收斂；

對(duì)第二類無(wú)界函數(shù);;而言，當(dāng)x→a+時(shí)，f(x)必為無(wú)窮大。且無(wú)窮小的階次不能高于某一尺度，才能保證收斂；這個(gè)尺度值一般等于1，注意識(shí)別反常積分。[2]

反常積分一致收斂判別方法

反常積分收斂判別口訣：積分后計(jì)算出來(lái)是定值，不是無(wú)窮大，就是收斂；積分后計(jì)算出來(lái)的不是定值，是無(wú)窮大，就是發(fā)散。

廣義積分判別法不僅比傳統(tǒng)的判別法更加精細(xì),而且避免了傳統(tǒng)判別法需要尋找參照函數(shù)的困難。只要研究被積函數(shù)自身的性態(tài),即可知其斂散性。

反常積分特點(diǎn)：

第一類反常積分，稱為無(wú)窮積分，指積分區(qū)間的上限或下限為無(wú)窮的積分。第二類反常積分，稱為反常積分，指被積函數(shù)在積分區(qū)間中含有不連續(xù)點(diǎn)的積分。在無(wú)窮積分的推廣定義中，兩個(gè)極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設(shè)兩個(gè)極限的收斂速度相同。