為什么一定正交化 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣嗎

為什么實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量一定可以正交化？實(shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的向量都是正交的，為啥還要正交化，線性代數(shù)中1.為什么要正交化，2.為什么要單位化.具體解釋下謝謝？為什么實(shí)對(duì)稱矩陣要施密特正交化才能求出那個(gè)可逆矩陣來(lái)，從而相似對(duì)角化？為什么特征向量必須標(biāo)準(zhǔn)正交化？求可逆矩陣為什么要正交化？

本文導(dǎo)航

• 對(duì)稱矩陣的特征值怎么求解
• 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣嗎
• 線性代數(shù)正交變換幾何意義
• 怎么證明矩陣能相似對(duì)角化
• 標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量和單位特征向量
• 為什么求正交矩陣需要單位化

對(duì)稱矩陣的特征值怎么求解

如果λ1和λ2是實(shí)對(duì)稱陣A的不同特征值

那么對(duì)于λ1的任何特征向量x1和λ2的任何特征向量x2總滿足x1^Tx2=0

也就是說(shuō)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量永遠(yuǎn)是正交的，正交化過(guò)程不會(huì)改變這條性質(zhì)

而對(duì)于一個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的多個(gè)特征向量，不管怎么做正交化還是特征向量

二次型對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣嗎

實(shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的向量都是正交的

確實(shí)不需要正交化

但是為了求出正交矩陣，還需要把特征向量都單位化，就可以了。

線性代數(shù)正交變換幾何意義

研究二次型的正定性時(shí)要用到

怎么證明矩陣能相似對(duì)角化

因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交。而我們只需要把相同特征值對(duì)應(yīng)的幾個(gè)特征向量正交化即可。

而斯密特正交化還有一特點(diǎn)，不僅正交化，還單位化，即每個(gè)向量的模都是1。

最后我們得到一組相互正交，而且模都是1的向量組。這個(gè)向量組有個(gè)特點(diǎn)，任意一個(gè)向量與自己做內(nèi)積，結(jié)果都等于1，而其它向量的內(nèi)積都等于0。于是這樣的向量組構(gòu)成的矩陣，轉(zhuǎn)置即為它的逆。即變換矩陣P的逆，只要轉(zhuǎn)置一下即可得到。

標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量和單位特征向量

將特征向量正交化,

那么題目一定是要求正交矩陣q使得q^-1aq為對(duì)角矩陣

因?yàn)閝的列向量來(lái)自a的特征向量

而q為正交矩陣的充分必要條件是q的列向量?jī)蓛烧磺议L(zhǎng)度為1

所以此時(shí)需將特征向量正交化和單位化

為什么求正交矩陣需要單位化

求可逆矩陣要將原矩陣正交化。這是為了進(jìn)行化解，使問(wèn)體變得簡(jiǎn)單化。這就像代數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)，約分等計(jì)算是一樣的。

行列式：是指將一些數(shù)據(jù)建立成計(jì)算方陣，經(jīng)過(guò)規(guī)定的計(jì)算方法最終得到一個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)，行列式代表的是一個(gè)值。

而矩陣則不同，矩陣表示的是一個(gè)數(shù)表，是一個(gè)數(shù)據(jù)的集合體。換句話說(shuō)，矩陣更神似于一張n行m列的數(shù)字表格，或者Excel表。

可逆矩陣的性質(zhì)：

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。

4、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）。