怎么證明一個(gè)矩陣可以對(duì)角化 矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法
如何證明矩陣可對(duì)角化?【請(qǐng)問】怎樣判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化?矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法,線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化?如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化?
本文導(dǎo)航
- 如何證明矩陣可對(duì)角化
- 如何判斷矩陣不能和對(duì)角矩陣相似
- 矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法
- 線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化?
- 如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化?
如何證明矩陣可對(duì)角化
考慮基本的n階循環(huán)矩陣
J=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
任何n階循環(huán)矩陣A都是J的多項(xiàng)式,所以只需要找一個(gè)P把J對(duì)角化就行了
J是酉陣,當(dāng)然可對(duì)角化
如何判斷矩陣不能和對(duì)角矩陣相似
n級(jí)矩陣A可對(duì)角化<=>A的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n。
實(shí)際判斷方法:
1、先求特征值,如果沒有相重的特征值,一定可對(duì)角化;
2、如果有相重的特征值λk,其重?cái)?shù)為k,那么你通過解方程(λkE-A)X=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個(gè),則A可對(duì)角化,若小于k,則A不可對(duì)角化。
此外,實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化。
擴(kuò)展資料:
若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值,則A必能相似于對(duì)角矩陣。
說(shuō)明:當(dāng)A的特征方程有重根時(shí),就不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而未必能對(duì)角化。
設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣,將M對(duì)角化,就是確定一個(gè)對(duì)角矩陣D及一個(gè)可逆方陣P,使M=PDP-1。設(shè)f為典范對(duì)應(yīng)于M的Kn的自同態(tài),將M對(duì)角化,就是確定Kn的一個(gè)基,使在該基中對(duì)應(yīng)f的矩陣。
參考資料來(lái)源:百度百科——對(duì)角化
矩陣可對(duì)角化的幾種證明方法
線性代數(shù)題。怎么證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化?
不用厄米特矩陣。若能證明下列命題,你的問題便也立即得到解決了。
設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣,那么可以找到n階正交矩陣T,使得(T的逆陣)AT為對(duì)角矩陣。
證明:當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立?,F(xiàn)在證明若對(duì)n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣成立,則 對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣也成立。設(shè)シ是A的一個(gè)特征值(n階矩陣一定有n個(gè)特征值(計(jì)數(shù)重復(fù)的)),設(shè)α是A 的一個(gè)特征向量(α是列向量)。((α的轉(zhuǎn)置)*A)的轉(zhuǎn)置=Aα=シα。因?yàn)樘卣飨蛄康姆橇惚稊?shù)仍然是特征向量,所以只要把α的每一個(gè)元都除以イ,其中イ的平方=(α的轉(zhuǎn)置)*α,就使得α為單位向量(所謂單位向量就是(α的轉(zhuǎn)置)*α=1)。顯然所有的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),且顯然可以找到足夠多的列單位向量,使得他們與α的內(nèi)積為0且他們兩兩內(nèi)積等于0,因?yàn)檎痪仃嚨某湟獥l件是列(行)向量?jī)蓛烧磺叶际菃挝幌蛄?,又因?yàn)閷?duì)方陣而言若AB=E則BA=E,故可以 以α為第一列人工寫出一個(gè)正交矩陣Q,(所謂正交矩陣就是(Q的轉(zhuǎn)置)*Q=Q*(Q的轉(zhuǎn)置)=E)。由((α的轉(zhuǎn)置)*A)的轉(zhuǎn)置=Aα=シα 得(Q的轉(zhuǎn)置)A的第一行是(シα)的轉(zhuǎn)置,于是 (Q的轉(zhuǎn)置)AQ的第1行第1列處是シ(α的轉(zhuǎn)置)α= シ,還可以推出(Q的轉(zhuǎn)置)AQ的第一列除了第一行以外都是0(至于這是為啥實(shí)在不方便打字,讀者可以自己算一下,提示一下 設(shè)t是Q的元,tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..時(shí)若每一項(xiàng)的角標(biāo)都不完全一樣,那么這些加起來(lái)就是0)。因?yàn)镼是正交矩陣,((Q的逆陣)AQ)的轉(zhuǎn)置=(Q的轉(zhuǎn)置)(A的轉(zhuǎn)置)(Q的逆陣的轉(zhuǎn)置)=(Q的逆陣)AQ,所以(Q的逆陣)AQ也是對(duì)稱矩陣,所以它第一行除了第一列以外也都是0,而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個(gè)對(duì)稱矩陣,所以最后可以反復(fù)進(jìn)行這個(gè)過程整成對(duì)角矩陣。證畢
然而正交矩陣一定是可逆矩陣,對(duì)方陣而言可逆等價(jià)于滿秩,乘以一個(gè)方陣滿秩方陣以后秩不變,這就證明了你的實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化
如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化?
A和B相似的充分必要條件是A和B有相同的特征值λ1……λn ,而且對(duì)于每一個(gè)特征值λi對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征矩陣A-λE和B-λE的秩相同。
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