什么是方陣的特征值 矩陣的特征值與特征向量的講解

如何求矩陣的特征值？例如下面的這個矩陣的特征值是什么？什么是非奇異矩陣?什么是矩陣的特征值?特征值的求解步驟是怎么樣的？什么是矩陣的特征值以及其物理意義？線性代數(shù)中矩陣的特征值的概念是什么？ 謝謝:-？矩陣的特征值和特征向量是什么？矩陣特征值是什么?怎么求？

本文導(dǎo)航

• 求矩陣特征值的技巧
• 對稱矩陣特征值的詳細求法
• 矩陣的特征值與特征向量的講解
• 線性代數(shù)五個特殊的矩陣
• 什么是矩陣的特征值及特殊向量
• 矩陣特征值的性質(zhì)證明詳細

求矩陣特征值的技巧

設(shè)m是n階方陣，

e是單位矩陣，

如果存在一個數(shù)λ使得

m-λe

是奇異矩陣（即不可逆矩陣，

亦即行列式為零），

那么λ稱為m的特征值。

　　特征值的計算方法n階方陣a的特征值λ就是使齊次線性方程組（a-λe）x=0有非零解的值λ，也就是滿足方程組｜a-λe｜=0的λ都是矩陣a的特征值。

你要求的那個設(shè)為a，經(jīng)過計算

a-me=

-1-m

，2

5/2

，3-m

（-1-m）（3-m）-5=0

（m+2）（m-4）=0

m1=-2；m2=4

這兩個就是特征值了。

對稱矩陣特征值的詳細求法

若n階矩陣A的行列式不為零,即

|A|≠0,則稱A為非奇異矩陣,否則稱A為奇異矩陣.

設(shè)

A

是n階方陣,如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x,使得

Ax=mx

成立,則稱

m

是A的一個特征值.

Ax=mx,等價于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是單位矩陣,0為零矩陣.

|mE-A|=0,求得的m值即為A的特征值.|mE-A|

是一個n次多項式,它的全部根就是n階方陣A的全部特征值,這些根有可能相重復(fù),也有可能是復(fù)數(shù).

矩陣的特征值與特征向量的講解

■ 對于一階微分方程組，分離出系數(shù)矩陣A，對A求特征值和特征向量，由P和Λ求得標準基解矩陣 e??＝P e^(Λt)P?1，從而可求出一階微分方程組的函數(shù)解。

■ 一階微分方程組描述動態(tài)電路時域解。有人說: 特征值＝電路頻率，此話欠正確。RLC串聯(lián)為例，電路由二個線性微分方程組描述，令RLC電路0激勵有初值。① 特征值為互異負實數(shù)(α、β)，它們是e的衰減指數(shù)，電路處于過阻尼態(tài): 特征值 ≠ 頻率。② 特征值為相同負實數(shù)，電路臨界阻尼態(tài): 特征值 ≠ 頻率。③ 特征值為二復(fù)數(shù)( α ± jβ )，α 表示e負指數(shù)；虛數(shù)β 表示振蕩頻率，雖說是二個虛數(shù) ( ± jβ )，實際頻率只有一個β，e^(jβ) 與 e^(-jβ) 對應(yīng) (Acosβt＋Bsinβt)，其中 β＝ω(頻率)。實系數(shù)高次方程根，如有復(fù)數(shù)根一定是共軛復(fù)數(shù)(二根)。

■ 振蕩頻率β是減幅振蕩頻率，β隨R變化而變化，β(R)＝f(R1，R2，··· ) 很神奇。β不同于諧振頻率，諧振頻率與R無關(guān): ωo＝1/√LC。

線性代數(shù)五個特殊的矩陣

什么是矩陣的特征值及特殊向量

n階方陣A，行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項式，首項系數(shù)是1] 叫做A的特征多項式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n個），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一個特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，每個非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個特征向量。

旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，它可以把右手坐標系改變成左手坐標系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學上涉及到的是一種組合設(shè)計：覆蓋設(shè)計。而覆蓋設(shè)計，填裝設(shè)計，斯坦納系，t-設(shè)計都是離散數(shù)學中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。

矩陣特征值的性質(zhì)證明詳細

如果僅知道矩陣的特征值是無法求它的逆矩陣仍，因為不同的矩陣肯定有不同的逆矩陣，但它們的特征值有可能相等。如矩陣[1,0;1,1]與二階單位矩陣的特征值相等都是1，但它們的逆矩陣不相等。