級數1 n 2-n為什么發(fā)散 級數n的n次方是發(fā)散還是收斂
無窮級數 1/n 為何是發(fā)散的？ 無窮級數1/（n^2）和(1/n^3)又為何是收斂的？最好用圖像作邏輯判斷？級數1/n發(fā)散的意義是什么？級數1/n為什么發(fā)散，當n趨于無窮時不是0么？為什么級數1/2，n從1到無窮是發(fā)散的？為什么級數1/n是發(fā)散的而級數1/n^2是收斂的？
本文導航
無窮級數基本概念
第一個級數 稱為調和級數 利用微分中值定理 可以證明1/n>ln(1+1/n) (構造y=lnx x在（n,n+1）)
級數1的部分和>ln（n+1）
第二個級數 無窮級數1/（n^2)<級數1/n(n+1) 后面的級數 分項 易證收斂
第三個級數 級數 (1/n^3)<無窮級數1/（n^2) 利用正項級數的比較收斂準則 易證收斂
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級數n的階乘分之一是收斂的嗎
首先對于p-級數∑1/n^p有很好的性質：p≤1時發(fā)散，p>1時收斂。對于這種形式的級數，其是否收斂完全取決于一般項趨于0的速度，一般項趨于0的速度越快級數越有可能收斂，例如1/n^2比1/n趨于0的速度快（即n趨于無窮時1/n^2是比1/n更高階的無窮?。?，因此p=1就是一個臨界點，因為任何比1大的p都是收斂的，即調和級數∑1/n是p-級數中發(fā)散速度最慢的級數，事實上你可以自己計算一下調和級數的前幾項，它的增長速度是非常慢的，以至于直觀上觀察這個數列的前幾項都想象不出增長如此慢的級數竟然會是發(fā)散的。另外關于調和級數還可以多說一點就是，它和對數函數lnx有著相同的階，即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在，這個極限稱為歐拉常數，記作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn)，c約等于0.5772，關于這個歐拉常數c是否是無理數，至今無人能給出證明，這是一個“未解之謎”。
級數n分之一為什么是發(fā)散
記S[n]=1+1/2+...+1/n。假設它收斂到S。
可見，S[2n]=S[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>S[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=S[n]+n/(2n)=S[n]+1/2.
兩邊讓n→∞得到S=S+1/2，無解。所以它是發(fā)散的。
無窮級數從1開始和從0開始
因為1/2乘以無窮大還是無窮大，所以級數發(fā)散。任何非零常數項級數都是發(fā)散的。
級數n的n次方是發(fā)散還是收斂
用積分判別法。
收斂級數（convergent series）是柯西于1821年引進的，它是指部分和序列的極限存在的級數。收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立。
收斂級數的基本性質主要有：級數的每一項同乘一個不為零的常數后，它的收斂性不變；兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之后仍為收斂級數；在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性；原級數收斂，對此級數的項任意加括號后所得的級數依然收斂；級數收斂的必要條件為級數通項的極限為0。
性質
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。
證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然后再加上有限項的結果。
