怎么判別正定 怎么判斷矩陣是否為正定二次型

心回歸原點2022-08-02 08:08:05961

如何辨別正定和半正定和負定?怎么判定一個二次型是正定的?正定矩陣的判別方法。

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如何辨別正定和半正定和負定。

正定矩陣

1.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。

2.若A為n階對稱正定矩陣,則存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L,使得A=L*L′,此分解式稱為 正定矩陣的楚列斯基(Cholesky)分解。

3.若A為n階正定矩陣,則A為n階可逆矩陣。

判定一個矩陣半正定

1、對于半正定矩陣來說,相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負并不能推出矩陣是半正定的。

2、半正定矩陣

定義:設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XT*A*X≥0,就稱A為半正定矩陣。

3、A∈Mn(K)是半正定矩陣的充分條件是:A的所有主子式大于或等于零。

負定矩陣

定義:設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XTAX<0,就稱A為負定矩陣。

1. A∈Mn(K)是負定矩陣的充要條件是:-A是正定矩陣。

2. A∈Mn(K)是負定矩陣的充要條件是:$A^{-1}$是負定矩陣。

3. A∈Mn(K)是負定矩陣的充要條件是:A的所有奇數(shù)階順序主子式小于零,所有偶數(shù)階順序主子式大于零。

怎么判斷矩陣是否為正定二次型

正定矩陣的判別方法

判斷一個矩陣是否為正定矩陣有兩種方法:
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù),則A是正定的;若A的特征值均為負數(shù),則A為負定的。
2、計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零,則A是正定的;若A的各階主子式中,奇數(shù)階主子式為負,偶數(shù)階為正,則A為負定的。半正定矩陣的特點:
1、半正定矩陣的行列式是非負的;兩個半正定矩陣的和是半正定的;非負實數(shù)與半正定矩陣的數(shù)乘矩陣是半正定的。
2、設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0,就稱A為半正定矩陣。

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