曲面積分怎么計(jì)算 曲面積分求詳細(xì)計(jì)算
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本文導(dǎo)航
曲面積分求詳細(xì)計(jì)算
這是第二型曲面積分,曲面的顯示表達(dá)式為z=-根號(hào)(R^2-x^2-y^2)
法向量的第三個(gè)分量是-1,記D為x^2+y^2<=R^2,于是
原積分=二重積分_(D) x^2*y^2*(-根號(hào)(R^2-x^2-y^2))*(-1)dxdy
注意上式最后一個(gè)-1是因?yàn)榍蟮氖窍聜?cè)。
用極坐標(biāo)x=rcosa,y=rsina,jacobian行列式為r,
=積分(從0到R)dr 積分(從0到2pi)r^4*cos^2a*sin^2a*根號(hào)(R^2-r^2)rda
關(guān)于a的積分=積分(從0到2pi)(1-cos4a)/8=pi/4。
關(guān)于r的積分在做變量替換r=sina,0<=a<=pi/2,
化為積分(從0到pi/2)sin^5a*cos^2ada
=1/3-2/5+1/7=8/105,最后得
=2pi/105。
計(jì)算曲面積分
曲面積分過(guò)于復(fù)雜,不好算。隨手算了,容易出錯(cuò)。建議看老師講的答案
利用高斯公式計(jì)算曲面積分!急!急!急!
分別對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個(gè)三重積分后有,3∫∫∫ydxdydz 積分域?yàn)閷?shí)心立方體。 到此可以直接用直角坐標(biāo)積分這個(gè)三重積分得出結(jié)果。但是本人這里使用一個(gè)對(duì)稱技巧。
3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫(1/2) dxdydz =0 + 3∫∫∫(1/2) dxdydz =(3/2)×1 =3/2(1為這個(gè)單位立方體體積。
注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因?yàn)檫@個(gè)立方體關(guān)于平面y-1/2=0對(duì)稱,且y-1/2=0為奇次方,所以積分值為0)。
擴(kuò)展資料:高斯公式介紹:
1、基本概念:
首先,我們來(lái)看一下什么是高斯公式。
有一個(gè)定理如下:
設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成,函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有
或
這里Σ是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),cos;α、cos;β、cosγ;是Σ在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦。其中的兩個(gè)公式均叫做高斯公式。
2. 應(yīng)用:
在計(jì)算曲面積分時(shí),可以利用高斯公式把曲面積分化成三重積分。
在應(yīng)用時(shí)需要注意定理的適用條件。定理中有三個(gè)關(guān)鍵詞:圍成、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、外側(cè)。在使用時(shí),注意以下幾點(diǎn):
(1)先看看積分域是不是一個(gè)閉區(qū)域,如果不是,那么就需要補(bǔ)個(gè)面(一般是平面)。
(2)注意閉區(qū)域(無(wú)論是否是補(bǔ)面之后形成的)內(nèi)是否在?P/?x、?Q/?y和?R/?z處連續(xù)(即奇點(diǎn)),如果是奇點(diǎn),還需要用補(bǔ)面來(lái)把奇點(diǎn)去掉。
(3)注意題目給定曲面的側(cè),到底是內(nèi)側(cè)還是外側(cè)。
下圖可以簡(jiǎn)明地列出這幾個(gè)點(diǎn):
補(bǔ)面①一般是補(bǔ)平面,補(bǔ)面②一般是球面、橢球面、半球面、半橢球面等。靈活運(yùn)用就可以了。
求閉合曲面積分
看以下兩點(diǎn)來(lái)理解18題的問(wèn)題。
①,用高斯公式求曲面積分,是用于【封閉曲面】圍成空間區(qū)域的情況下。如果是封閉曲面的外側(cè),就在三重積分前加+號(hào);如果是封閉曲面的內(nèi)側(cè),就在三重積分前加-號(hào)。
②,對(duì)于曲面∑不是封閉曲面的曲面積分,人為地添加適當(dāng)?shù)那妗?,使得∑0與∑共同構(gòu)成封閉曲面,這時(shí)就可以考慮用高斯公式了。需要注意兩件事。第一,添加的曲面需要自行給出其側(cè),原則是要與∑的側(cè)一致地成為封閉曲面的外側(cè)或內(nèi)側(cè)。第二,原積分式=∫∫∑…
=【∫∫∑…+∫∫∑0…】-∫∫∑0…★
上式★中,對(duì)【……】,用高斯公式,符號(hào)的問(wèn)題遵①。式★中的∫∫∑0…,用曲面積分的計(jì)算公式直接算即可。上述二者算出的值相減即得答案。
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