對(duì)坐標(biāo)曲面積分怎么算 坐標(biāo)軸投影法求三重積分

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• 高數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，急。。。
• 高數(shù) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
• 坐標(biāo)軸投影法求三重積分
• 求對(duì)坐標(biāo)的曲面積分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下側(cè)

高數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，急。。。

把本題的封閉曲面分成3片解決：記∑1是z=1，∑2是z=2，∑3是z=√(x^2+y^2 )

利用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算公式，直接化成二重積分來(lái)求。

因?yàn)?，所求的曲面積分∫∫e^z/√(x^2+y^2 ) dydz是對(duì)坐標(biāo)【y】，【z】的，

所以，是化成【yoz】坐標(biāo)面上的二重積分，

是把∑1，∑2，∑3分別投影到【yoz】坐標(biāo)面上，來(lái)作為相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域。

而，∑1與∑2在yoz坐標(biāo)面上的投影為0，所以，這兩片上的曲面積分都=0。

又，需將∑3分成2片：前片與后片，

而由于，題目給出為立體表面的外側(cè)，所以，

前片化成二重積分時(shí)應(yīng)該取正號(hào)，后片化成二重積分時(shí)應(yīng)該取負(fù)號(hào)，從而在∑3上的積分也=0。

故原式=0。

解法2，用高斯公式，對(duì)號(hào)入座：P=e^z/√(x^2+y^2 )，Q=R=0，

P’x=ye^z/√(x^2+y^2 )，Q’y=R’z=0，

原式化成三重積分=∫∫∫（Ω）ye^z/√(x^2+y^2 )dv，其中Ω是∑1，∑2，∑3圍成的立體，

Ω是一個(gè)（倒置的）圓臺(tái)，

采用柱面坐標(biāo)計(jì)算Ω上的這個(gè)三重積分=

=∫（0到2∏）dθ∫（0到1）rdr∫（1到2）rsinθ*e^z/√(r^2)dz，

其中，∫（0到2∏）sinθdθ=0，得到原式=0。

高數(shù) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

柱面坐標(biāo)是求解【三重積分】時(shí)用的。

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的直接計(jì)算公式是化成【二重積分】。

有些情況下，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分可以利用高斯公式化成【三重積分】計(jì)算。

坐標(biāo)軸投影法求三重積分

曲面法向量方向余弦前兩個(gè)cosA與cosB的正負(fù)號(hào)與第三個(gè)cosr相反。

曲面Z=x^2+y^2的法向量為n=(-2x, -2y, 1)

那么曲面在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影滿足

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy

擴(kuò)展資料：

平面面積(Δσ)是曲面面積(ΔS)在xOy面下的投影

曲面積分中有與不同面對(duì)應(yīng)的三個(gè)方向余弦。

對(duì)于yoz面，dydz = cosα dS

對(duì)于zox面，dzdx = cosβ dS

對(duì)于xoy面，dxdy = cosγ dS

其中dydz、dzdx、dxdy分別是dS在三個(gè)不同的面下的面積投影區(qū)域

考慮在xoy面上，γ是曲面dS在某一點(diǎn)的法向量與z軸之間形成的夾角

參考資料來(lái)源：百度百科-曲面積分

求對(duì)坐標(biāo)的曲面積分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下側(cè)

下半球面為z = - √(r2 - x2 - y2)，取下側(cè)

投影區(qū)域D為x2 + y2 ≤ r2

所以∫∫Σ dxdy

= - ∫∫D dxdy，下側(cè)取

= - D的面積

= - π r2

對(duì)曲面積分的理解

第一型曲線積分和第一型曲面積分是以線密度和面密度為背景的線積分，強(qiáng)調(diào)是以線段（弧長(zhǎng)）、面積為積分元素即：ds。

第二型曲線曲面積分則是分別以力做功和流量為背景的積分，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)坐標(biāo)的積分。實(shí)際上我認(rèn)為第二類曲線曲面積分就是對(duì)矢量進(jìn)行積分的一種積分規(guī)則。二、三維空間的矢量依靠分解到三個(gè)坐標(biāo)軸上分別積分，其中需要通過(guò)變換積分元素。