函數(shù)連續(xù)性怎么判斷 如何簡單判斷一個函數(shù)是否連續(xù)
如何簡單判斷一個函數(shù)是否連續(xù)？怎么判斷一個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)？高數(shù)中。連續(xù)性和可導性怎么判斷？如何判斷函數(shù)是否連續(xù)和可導呢？
本文導航
如何簡單判斷一個函數(shù)是否連續(xù)
根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性定義來判斷。
函數(shù)連續(xù)性定義：
對定義域內(nèi)任意一個x0，在x0的領域內(nèi)都有l(wèi)imf(x)=f(x0)(x->x0)
即函數(shù)在x0處的極限值等于該點的函數(shù)值時，由函數(shù)在該點連續(xù)，如果函數(shù)在定義域內(nèi)的每一個點都連續(xù)，則該函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。
從圖像上看，函數(shù)連續(xù)，則圖像是一條不斷開的曲線。如果從某點處斷開，則函數(shù)在該點就不連續(xù)了。
怎么判斷一個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)
初等函數(shù)在其定義域的任意子區(qū)間都連續(xù)。
高數(shù)中。連續(xù)性和可導性怎么判斷
1.函數(shù)的連續(xù)性定義有三個條件
f(x)在x=x0點有定義；f(x)在x→x0時極限存在；極限值等于函數(shù)值
此外，還有個命題
基本初等函數(shù)在其定義域中連續(xù)，初等函數(shù)在其定義區(qū)間中連續(xù)。
因此，判斷函數(shù)的連續(xù)性，一般先觀察函數(shù)是否為初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算以及復合而成的函數(shù)），如果是，那么在它的定義區(qū)間上的每一點都是連續(xù)的！
如果函數(shù)是個分段函數(shù)，那么先考慮每個分段上的連續(xù)性，然后考慮分段點的連續(xù)性，采用的方法依據(jù)定義來判斷！
2.函數(shù)的可導性主要是考慮極限lim
Δy/Δx=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的問題.
對于基本初等函數(shù)，它們也都是在它的定義域中可導的。
如果碰到分段函數(shù)，記得分段點的可導性一定要用定義來判斷！
此外，對于一元函數(shù)來講，可導必連續(xù)，反之未必成立！
如何判斷函數(shù)是否連續(xù)和可導呢?
一個函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)（可導）指的是該函數(shù)在此區(qū)間的任意一點上連續(xù)（可導）。
至于判斷在某一點上函數(shù)是否連續(xù)或可導，即判斷某個極限是否存在。
判斷函數(shù)f在點x0處是否連續(xù)，即判斷極限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)。
判斷函數(shù)f在點x0處是否可導，即判斷極限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。
對于連續(xù)性，在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。
設函數(shù);;在點;;的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有;;，則稱函數(shù)在點;;處連續(xù)，且稱;為函數(shù)的的連續(xù)點。
一個函數(shù)在開區(qū)間;;內(nèi)每點連續(xù)，則為在;;連續(xù)，若又在;;點右連續(xù)，;;點左連續(xù)，則在閉區(qū)間;;連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。
顯然，由極限的性質可知，一個函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是它在該點左右都連續(xù)。
擴展資料：
如果f是在x0處可導的函數(shù)，則f一定在x0處連續(xù)，特別地，任何可導函數(shù)一定在其定義域內(nèi)每一點都連續(xù)。反過來并不一定。事實上，存在一個在其定義域上處處連續(xù)函數(shù)，但處處不可導。
間斷有以下三種情況：
1.在點;;處;;沒有定義，在;;為發(fā)散狀態(tài)（y=tanx在x=kπ+π/2處無定義，并且在x=kπ+π/2處發(fā)散到無窮大）；
2.在;;無定義，趨近與;;時連續(xù)波動（y=sin(1/x)在x=0處無定義，并且在0的某個去心鄰域內(nèi)無限振蕩）；
3.雖然;;有定義，且;;存在，但不等于;;（分段函數(shù)在x=0處的左右極限都存在，但不等于f(0)）。
參考資料：百度百科——可導函數(shù)
參考資料：百度百科——連續(xù)函數(shù)
