導(dǎo)數(shù)保號性是什么意思 極限保號性的定義

什么是保號性？什么叫做保號性？函數(shù)極限局部保號性什么意思？保號性怎么理解呢？

本文導(dǎo)航

• 極限的保號性是啥意思呢
• 為什么要選擇保號
• 函數(shù)極限為什么是局部有界性
• 極限保號性的定義

極限的保號性是啥意思呢

設(shè)函數(shù)為 f(x),若其在x0處有極限，且有f(x0)>0,

那么根據(jù)定義，對任意的ε>0,存在δ>0, 滿足 |f(x)-f(x0)|<ε,

即有 f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε.

當(dāng)取 ε=f(x0)，則上式變?yōu)?0=f(x0)-f(x0)<f(x),在（x0-δ,x0+δ）上成立。

即找到一個區(qū)間上，f(x)大于零。

我們稱此為局部保號性(號為函數(shù)值的正負(fù)號)：即若其在x0處有極限，有f(x0)>0，則可找到一個區(qū)間上恒有f(x)>0；f(x0)<0時同樣成立；f(x0)=0不存在保號性。

為什么要選擇保號

設(shè)函數(shù)為 f(x),若其在x0處有極限，且有f(x0)>0,

那么根據(jù)定義，對任意的ε>0,存在δ>0, 滿足 |f(x)-f(x0)|<ε,

即有 f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε.

當(dāng)取 ε=f(x0)，則上式變?yōu)?0=f(x0)-f(x0)<f(x),在（x0-δ,x0+δ）上成立。

即找到一個區(qū)間上，f(x)大于零。

我們稱此為局部保號性(號為函數(shù)值的正負(fù)號)：即若其在x0處有極限，有f(x0)>0，則可找到一個區(qū)間上恒有f(x)>0；f(x0)<0時同樣成立；f(x0)=0不存在保號性。

函數(shù)極限為什么是局部有界性

函數(shù)極限局部保號性是指滿足一定條件（例如極限存在或連續(xù)）的函數(shù)在局部范圍內(nèi)函數(shù)值的符號保持恒正或恒負(fù)的性質(zhì)。

函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，導(dǎo)數(shù)等概念都是在函數(shù)極限的定義上完成的。函數(shù)極限性質(zhì)的合理運(yùn)用。常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等等。

擴(kuò)展資料：

求函數(shù)極限的方法：

1、利用函數(shù)連續(xù)性：

就是直接將趨向值帶入函數(shù)自變量中，此時要要求分母不能為0。

2、恒等變形

當(dāng)分母等于零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個小方法解決：

第一：因式分解，通過約分使分母不會為零。

第二：若分母出現(xiàn)根號，可以配一個因子使根號去除。

第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進(jìn)行的，如果趨向于無窮，分子分母可以同時除以自變量的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數(shù)為無窮?。?/p>

當(dāng)然還會有其他的變形方式，需要通過練習(xí)來熟練。

3、通過已知極限

特別是兩個重要極限需要牢記。

4、采用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則是分式求極限的一種很好的方法，當(dāng)遇到分式0/0或者∞/∞時可以采用洛必達(dá)，其他形式也可以通過變換成此形式。

參考資料來源：百度百科-函數(shù)極限

參考資料來源：百度百科-保號性

極限保號性的定義

高數(shù)保號性，是指滿足一定條件，例如極限存在或連續(xù)的函數(shù)在局部范圍內(nèi)函數(shù)值的符號保持恒正或恒負(fù)的性質(zhì)。

高數(shù)保號性介紹：

1、函數(shù)在一定點(diǎn)集上有定義，且函數(shù)值恒正或恒負(fù)，則稱函數(shù)在一定點(diǎn)集上具有保號性；

2、如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限不等于零，那么在這個點(diǎn)的臨近，就是定理中的空心鄰域，函數(shù)具有保持符號與極限的符號相同的性質(zhì)。

有界區(qū)域：

函數(shù)有非零極限點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的局部保號性。定理若函數(shù)在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)有定義。

（1）若（或），則存在某個去心鄰域，對該去心鄰域內(nèi)一切恒有（或）。

（2）存在某個去心鄰域，對該去心鄰域內(nèi)一切恒有（或）。

證明（1）由于，根據(jù)極限定義，對于取定正數(shù)，總存在，即，該去心鄰域內(nèi)一切恒有。

函數(shù)連續(xù)點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部保號性。

若函數(shù)在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)有定義，在點(diǎn)連續(xù)，且（或），則存在某個（實(shí)心）鄰域，對該去心鄰域內(nèi)一切恒有（或）。