正定二次型是什么 考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)

關(guān)于正定二次型，合同矩陣的正定二次型，怎么判定一個(gè)二次型是正定的？正定矩陣和正定二次型有什么區(qū)別?。空ǘ涡偷呐卸ǚ椒ㄊ鞘裁?？考研數(shù)學(xué)當(dāng)中的二次型正定重要嗎？

本文導(dǎo)航

• 正定西上高速規(guī)劃圖
• 如何判斷矩陣為合同矩陣
• 二次型的值怎么求
• 正定矩陣的幾何意義通俗解釋
• 半正定矩陣如何判斷
• 考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)

正定西上高速規(guī)劃圖

因?yàn)閒是一些平方項(xiàng)的和

所以

f=0

<=>

每一個(gè)平方項(xiàng)都等于0

<=>

x1+a1x2=0

....

xn+anx1=0

所以, 當(dāng)方程組只有零解時(shí)

任給x=(x1,...,xn)^T≠0, x不是方程組的解

所以 f ≠ 0

即有 f > 0, f正定

如何判斷矩陣為合同矩陣

主條目：正定二次型一個(gè)二次型被稱(chēng)為半正定的，如果它對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)合同到一個(gè)一個(gè)對(duì)角線(xiàn)上元素只由0和1構(gòu)成的對(duì)角矩陣。如果一個(gè)二次型的矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)合同于單位矩陣，那么稱(chēng)其為正定二次型。一個(gè)二次型是半正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的正慣性指數(shù)等于它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩；是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的正慣性指數(shù)是 n。 正定二次型必然是可逆矩陣，而且它的行列式大于0。同樣的可以定義半負(fù)定、負(fù)定和不定的二次型。

二次型的值怎么求

定義：設(shè)有實(shí)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有f(x)＞0，則稱(chēng)此二次型為正定二次型，并把其對(duì)稱(chēng)矩陣A稱(chēng)為正定矩陣.正定二次型的判別方法:

1）：二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)都大于零，則其為正定；

2）：二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值大于零，則其為正定；

3）：對(duì)稱(chēng)矩陣A的各階順序主子式全大于零，則其為正定.

注：設(shè)A為n階方陣，則位于A的左上角的1階，2階，...，n階子式，

即：稱(chēng)為A的各階順序主子式.

判別二次型的正定性.解：方法一：利用二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值來(lái)判斷.先寫(xiě)出二次型的矩陣:由于:可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0故此二次型為正定二次型.方法二：利用二次矩陣的各階順序主子式來(lái)判定.由于此二次型的矩陣為:因?yàn)樗膫€(gè)階順序主子式:＞0,＞0,＞0故此二次型為正定二次型.

正定矩陣的幾何意義通俗解釋

二次型是一個(gè)N元二次齊次多項(xiàng)式：正定是指當(dāng)這個(gè)多項(xiàng)式的自變量不全為零時(shí)，多項(xiàng)式的值恒為正。

半正定矩陣如何判斷

正定二次型的判別方法：

1：二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)都大于零，則其為正定；

2：二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值大于零，則其為正定；

3：對(duì)稱(chēng)矩陣A的各階順序主子式全大于零，則其為正定.;

注：設(shè)A為n階方陣，則位于A的左上角的1階，2階，...，n階子式，

擴(kuò)展資料：

對(duì)于給定的二次型 ，先將化為標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)為正的個(gè)數(shù)是否等于來(lái)判定二次型的正定性。

通過(guò)正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此，可先求二次型矩陣的特征值，然后根據(jù)大于零的特征值個(gè)數(shù)是否等于來(lái)判定二次型的正定性。

參考資料來(lái)源：百度百科-正定二次型

考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)

考研數(shù)學(xué)當(dāng)中的二次型正定重要。

正定二次型是二次型中一項(xiàng)非常重要的二次型，定理6.2二次型經(jīng)過(guò)可逆線(xiàn)性變換，其正定性不變。二次型經(jīng)過(guò)可逆線(xiàn)性變換，其正定性不變。

定理證明設(shè)二次型f(x)=xtax,經(jīng)過(guò)可逆線(xiàn)性變換x=cy化成了二次型f(y)=(cy)tacy=ytctacy若xtax是正定的，即對(duì)任意的x∈rn,x≠0,有是正定的，xtax>0。

簡(jiǎn)介

二次型f (y) = (Cy)TA C y= yTCTAC y是正定的。是正定的反過(guò)來(lái)也是對(duì)的，有相同的正定性。反過(guò)來(lái)也是對(duì)的，故xTA x和yTCTAC y有相同的正定性。

有相同的正定性從定理的證明還可以看出，對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，和從定理的證明還可以看出，對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A,A和CTAC (其中可逆有相同的正定性。其中C可逆有相同的正定性。其中可逆）有相同的正定性。