輪換對(duì)稱是什么意思 輪換對(duì)稱性與普通對(duì)稱性的區(qū)別

簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單2022-08-12 10:05:175301

什么叫“輪換對(duì)稱性”?輪換對(duì)稱定義,對(duì)稱式和輪換式有什么區(qū)別?

本文導(dǎo)航

什么叫“輪換對(duì)稱性”?

坐標(biāo)的輪換對(duì)稱性,簡(jiǎn)單的說(shuō)就是將坐標(biāo)軸重新命名,如果積分區(qū)間的函數(shù)表達(dá)不變,則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后,積分值保持不變。

一般指字母,交替輪換的出現(xiàn),如xy,yz,zx就屬于輪換對(duì)稱的一個(gè)例子。

對(duì)稱的形式包括哪幾種

將A,B,C換位置(把a(bǔ)換成b,把b換c,把c換成a)之后多項(xiàng)式保持不變,這樣的式子叫輪換對(duì)稱式。

輪換對(duì)稱性與普通對(duì)稱性的區(qū)別

首先要說(shuō)明的時(shí),輪換式完整的叫法是輪換對(duì)稱式。因?yàn)閹缀紊蠈?duì)稱除了軸對(duì)稱之外,還有中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等,相應(yīng)地,在代數(shù)里對(duì)稱也有較多的對(duì)稱。這與我們?nèi)粘UZ(yǔ)言中的概念是有區(qū)別的。

下面指出輪換式和對(duì)稱式的區(qū)別:對(duì)稱式交換任意兩個(gè)變量的值,結(jié)果不變,如x+y+z;

輪換對(duì)稱式一定要輪換,例如x->y,y->z,z->x才能使結(jié)果不變,如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y,光換兩個(gè)不行。

第二個(gè)問(wèn)題是分解因式的應(yīng)用,現(xiàn)舉實(shí)例如下:

①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3

③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz

(1)

分析:

將原式看成X的多項(xiàng)式,可知

當(dāng)X=-Y時(shí),

原式=(-Y+Y+Z)^5-(-Y)^5-Y^5-Z^5

=0

所以原式有因式(X+Y),因?yàn)槭菍?duì)稱式,所以原式還有因式(Y+Z),(Z+X)

設(shè)原式=(X+Y)(Y+Z)(Z+X)[K(X^2+Y^2+Z^2)+T(XY+YZ+ZX)]

令X=1,Y=1,Z=0,代入得

30=2(2K+T);

令X=1,Y=-1,Z=0,代入得-30=-2(5K-2T)

解得K=5,T=5

所以原式=5(X+Y)(Y+Z)(Z+X)(X^2+Y^2+Z^2+XY+YZ+ZX)

(2)

分析

設(shè)原式=[(2A+2B+2C)^3-(B+C)^3]-[(C+A)^3+(A+B)^3]

然后利用立方差和立方和公式展開(kāi),并令整理后的式子

=(2A+B+C)(M-N)

其中由輪換多項(xiàng)式可確定(M-N)中含有(A+2B+C),(A+B+2C)

比較系數(shù)的原式=3(2A+B+C)

(A+2B+C)(A+B+2C)

(3)分析

設(shè)X=Y+Z,則有

原式=(X+Y)^3+Y^2(2Z+Y)+Z^2(2Y+Z)-[(Y+Z)^3+Y^3+Z^3]-2(Y+Z)YZ

=(Y+Z)^3+2Y^2Z+Y^3+2YZ^2+Z^3-(Y+Z)^3-Y^3-Z^3-2Y^2Z-2YZ^2=0

所以原式有因式(Y+Z-X),因?yàn)閷?duì)稱式,故也有因式(Z+X-Y),(X+Y-Z)

設(shè)原式=K(Y+Z-X)(X+Y-Z)(Z+X-Y)

其中K為待定系數(shù),比較等式兩邊XYZ項(xiàng)的系數(shù)

右=K(1-1+1-1-1-1)=-2K

,左=-2

所以解得K=1

所以原式=(Y+Z-X)(X+Y-Z)(Z+X-Y)

對(duì)稱與輪換對(duì)稱很重要,以后一直到大學(xué)都很有用。

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