矩陣單位化有什么區(qū)別 矩陣初等變換一定要寫變換方式嗎
矩陣單位化的問題,初等變換與單位矩陣區(qū)別是什么?求解矩陣單位化的問題,為什么會(huì)有矩陣的正交化和單位化?如何將一個(gè)矩陣的特征向量單位化?矩陣單位化的目的。
本文導(dǎo)航
矩陣的十大問題
不用代入
矩陣初等變換一定要寫變換方式嗎
初等矩陣的概念是隨著矩陣初等變換的定義而來的。初等變換有三類:
1、位置變換:矩陣的兩行(列)位置交換;
2、數(shù)乘變換:數(shù)k乘以矩陣某行(列)的每個(gè)元素;
3、消元變換:矩陣的某行(列)元素同乘以數(shù)k,然后加到另外一行(列)上。
初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣。
則根據(jù)三類初等變換,可以得到三種不同的初等矩陣。
1、交換陣E(i,j):單位矩陣第i行與第j行位置交換而得;
2、數(shù)乘陣E(i(k)):數(shù)k乘以單位矩陣第i行的每個(gè)元素(其實(shí)就是主對(duì)角線的1變成k);
3、消元陣E(ij(k)):單位矩陣的第i行元素乘以數(shù)k,然后加到第j行上。
其上的三種初等矩陣均可看成是單位矩陣的列經(jīng)過初等變換而得。
初等矩陣的模樣其實(shí)我們可以嘗試寫一個(gè)3階或者4階的單位矩陣,然后進(jìn)行初等變換來加深一下印象。
首先:初等矩陣都可逆,其次,初等矩陣的逆矩陣其實(shí)是一個(gè)同類型的初等矩陣(可看作逆變換)。
最關(guān)鍵的問題是:初等矩陣能用來做什么?
當(dāng)我們用初等矩陣左乘一個(gè)矩陣A的時(shí)候,我們發(fā)現(xiàn)矩陣A發(fā)生變化而成為矩陣B,而這種變化恰好是一個(gè)單位矩陣變成該初等矩陣所產(chǎn)生的變化。具體來說:
左乘的情況:
1、E(i,j)A=B,則矩陣A第i行與第j行位置交換而得到矩陣B;
2、E(i(k))A=B,則矩陣A的第i行的元素乘以數(shù)k而得到矩陣B;
3、E(ij(k))A=B,則矩陣A的第i行元素乘以數(shù)k,然后加到第j行上而得到矩陣B。
結(jié)論1:用初等矩陣左乘一個(gè)矩陣A,相當(dāng)于對(duì)矩陣A做了一次相應(yīng)的行的初等變換。
右乘的情況:
4、AE(i,j)=B,則矩陣A第i列與第j列位置交換而得到矩陣B;
5、AE(i(k))=B,則矩陣A的第i列的元素乘以數(shù)k而得到矩陣B;
6、AE(ij(k))=B,則矩陣A的第i列元素乘以數(shù)k,然后加到第j列上而得到矩陣B。
結(jié)論2:用初等矩陣右乘一個(gè)矩陣A,相當(dāng)于對(duì)矩陣A做了一次相應(yīng)的列的初等變換。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
請(qǐng)注意并理解結(jié)論1和結(jié)論2中的“相應(yīng)”兩字。
初等矩陣為由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換(三種)而來,我們可以把初等矩陣看成是施加到單位矩陣E上的一個(gè)變換。
若某初等矩陣左(右)乘矩陣A,則初等矩陣會(huì)將原先施加到單位矩陣E上的變換,按照同種形式施加到矩陣A之上。或者說,我們想對(duì)矩陣A做變換,但是不是直接對(duì)矩陣A去做處理,而是通過一種間接方式去實(shí)現(xiàn)。
就像武林中已經(jīng)失傳的絕技“隔山打?!币粯?。表演的時(shí)候一般是在一塊大石上放一塊豆腐,然后運(yùn)力一掌擊打在豆腐上,結(jié)果豆腐紋絲不動(dòng),而下面的大石卻已四分五裂矣。
真有異曲同工之妙啊。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
所以我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論:
對(duì)矩陣所做的任何的初等變換,都可以利用矩陣與初等變換的乘積來表示。
為什么用單位矩陣求基礎(chǔ)解系
單位化就是令列向量的模為1
假定βi=(a1,a2,a3)
令|β|=√a12+a22+a32
若要使|β|=1,那么根據(jù)比例分配
每個(gè)分配之后分別是a1/√a12+a22+a32 ,a2/√a12+a22+a32 ,a3/√a12+a22+a32 .
也就是βi/|β|
矩陣正交化步驟
矩陣沒有正交化或單位化,進(jìn)行正交化或單位化的是向量,對(duì)n個(gè)線性無關(guān)的向量進(jìn)行正交化后再單位化可以得到一個(gè)正交向量組,將這些向量豎著寫(橫著也無所謂)就可以得到一個(gè)正交矩陣。也就是說一個(gè)可逆陣將其每一列都正交化單位化可得到一個(gè)正交矩陣,換個(gè)角度說,將n維歐氏空間的任意一組基進(jìn)行正交化單位話后可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以正交化和單位化在歐式空間中應(yīng)用是很廣泛的?。。ㄖ档米⒁獾氖撬麄兊捻樞騿栴},一定要先正交化再單位化)
矩陣特征向量的個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系
對(duì)于你的問題特別說明兩點(diǎn):
1.既然對(duì)一般矩陣,屬于不同特征值的特征向量之間未必正交,那么正交化和單位化也就沒有什么意義,若勉強(qiáng)正交化,結(jié)果就不再是特征向量了;
2.對(duì)于二次型矩陣的化簡,一般只要求合同對(duì)角化就夠了,就是說,給定二次型矩陣 A ,只要找一個(gè) 可逆矩陣 P 使得 (P轉(zhuǎn)) A P = D 是對(duì)角矩陣就行了,這里的 P 不見得必須是正交陣.但是既然實(shí)對(duì)稱矩陣 A 可以正交相似對(duì)角化,我們當(dāng)然也可以要求 P 為正交矩陣,選 P 為正交矩陣的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是,它不會(huì)改變歐幾里得空間中兩點(diǎn)間的距離,從而在變換坐標(biāo)時(shí)可以保持空間圖形的形狀不發(fā)生變化,而選擇一般可逆矩陣 P就不一定能做到這一點(diǎn)了.
矩陣變換什么時(shí)候需要單位化
矩陣單位化的目的是為了得出正交陣(正交陣的列向量組是正交的單位向量)。
在矩陣的乘法中,有一種矩陣起著特殊的作用,如同數(shù)的乘法中的1,這種矩陣被稱為單位矩陣。它是個(gè)方陣,從左上角到右下角的對(duì)角線(稱為主對(duì)角線)上的元素均為1。
除此以外全都為0。根據(jù)單位矩陣的特點(diǎn),任何矩陣與單位矩陣相乘都等于本身,而且單位矩陣因此獨(dú)特性在高等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用。
矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具,也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中,矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用;計(jì)算機(jī)科學(xué)中,三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣,矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。
相關(guān)性質(zhì):
單位矩陣的特征值皆為1,任何向量都是單位矩陣的特征向量。
因?yàn)樘卣髦抵e等于行列式,所以單位矩陣的行列式為1。因?yàn)樘卣髦抵偷扔谯E數(shù),單位矩陣的跡為n。
掃描二維碼推送至手機(jī)訪問。
版權(quán)聲明:本文由尚恩教育網(wǎng)發(fā)布,如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。