什么是廣義積分 廣義積分的幾何意義
什么是廣義積分?什么叫廣義積分?廣義積分是什么意思?什么是廣義積分,什么是超越方程?廣義積分的定義,什么樣的函數(shù)算廣義積分?什么是廣義積分呢?
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廣義積分的幾何意義
定積分概念的推廣。主要研究積分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形。前者稱為無窮限廣義積分,或稱無窮積分;后者稱為無界函數(shù)的廣義積分,或稱瑕積分,也被稱為反常積分。
判定方法:
當(dāng)積分區(qū)間無界時(shí)(比如從0積分到正無窮大什么的)或者被積的函數(shù)無界時(shí),這種積分叫廣義積分。
比如積分(從0到正無窮)1/x dx (即y=1/x一象限中與坐標(biāo)軸圍成的面積)
或者積分(從0到1)lnx dx (lnx在x=0處無定義)
什么叫積分圖解
積分區(qū)間為無限,按照定積分的定義,這兩種情形的積分都是沒有意義的。但是為了把定積分的概念推廣到這兩種情形,就定義:
設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+無窮)有定義,且在任意有限區(qū)間[a,A]上可積。若極限
lim(A->+無窮)積分符號(從a到A)f(x)dx 存在,則稱詞極限為f(x)在該無窮區(qū)間上的廣義積分。
這個(gè)就是廣義積分的定義。如果你能理解極限的意思的話,這個(gè)應(yīng)該也好理解。
黎曼積分就是定積分,因?yàn)槎ǚe分這個(gè)定義在歷史上首先是由黎曼(Riemann)給出的。
廣義積分是怎么算的
定積分概念的推廣至分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分,又名反常積分。其中前者稱為無窮限廣義積分,或稱無窮積分;后者稱為無界函數(shù)的廣義積分,或稱瑕積分。
我是這么簡單理解的:定積分其實(shí)就是求面積,都是有限有邊界的;廣義積分都屬于無界的。相對于定積分的有界面積而言,廣義積分則是屬于沒有邊界的面積,是廣義上的面積 - -
廣義積分分為哪兩類
廣義積分 積分區(qū)間為無限,按照定積分的定義,這兩種情形的積分都是沒有意義的。但是為了把定積分的概念推廣到這兩種情形,就定義:
設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+無窮)有定義,且在任意有限區(qū)間[a,A]上可積。若極限
lim(A->+無窮)積分符號(從a到A)f(x)dx 存在,則稱詞極限為f(x)在該無窮區(qū)間上的廣義積分。
這個(gè)就是廣義積分的定義。如果你能理解極限的意思的話,這個(gè)應(yīng)該也好理解。
黎曼積分就是定積分,因?yàn)槎ǚe分這個(gè)定義在歷史上首先是由黎曼(Riemann)給出的。 超越方程
施行有限次指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等運(yùn)算,這樣的方程叫做超越方程.初等超越方程高中可解。
超越方程解法有很多(不同類型解法不同),如轉(zhuǎn)化為微分方程,利用微分方程的數(shù)值解法求取超越方程的零點(diǎn)。
廣義積分收斂意味什么
定積分概念的推廣至分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分,又名反常積分.其中前者稱為無窮限廣義積分,或稱無窮積分;后者稱為無界函數(shù)的廣義積分,或稱瑕積分.
設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,+∞)上.若f(x)在任意[a,A](A>a)上可積,我們稱積分形式∫(A → +∞) f(x)dx為f(x)在[a,+∞)上的無窮積分.
設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,b)上,而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無界(此時(shí)稱x=b為f(x)的瑕點(diǎn)).若f(x)在任意[a,b-ε](0
廣義積分中的a是怎么確定的
反常積分又叫廣義積分,是對普通定積分的推廣,指含有無窮上限/下限,或者被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分,前者稱為無窮限廣義積分,后者稱為瑕積分(又稱無界函數(shù)的反常積分)。
定積分的積分區(qū)間都是有限的,被積函數(shù)都是有界的。但在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中,還會(huì)遇到一些在無限區(qū)間上定義的函數(shù)或有限區(qū)間上的無界函數(shù),對它們也需要考慮類似于定積分的問題。
因此,有必要對定積分的概念加以推廣,使之能適用于上述兩類函數(shù)。這種推廣的積分,由于它異于通常的定積分,故稱之為廣義積分,也稱之為反常積分。
混合反常積分
對于上下限均為無窮,或被積分函數(shù)存在多個(gè)瑕點(diǎn),或上述兩類的混合,稱為混合反常積分。對混合型反常積分,必須拆分多個(gè)積分區(qū)間,使原積分為無窮區(qū)間和無界函數(shù)兩類單獨(dú)的反常積分之和。
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