矩陣相似是什么意思 相似矩陣的性質(zhì)總結(jié)

矩陣的等價(jià)和相似有什么區(qū)別？矩陣相似與矩陣合同有什么區(qū)別？矩陣相似度是什么意思？什么是相似矩陣？線性代數(shù) 相似矩陣的定義，兩矩陣相似有什么結(jié)論？

本文導(dǎo)航

• 矩陣等價(jià)有什么條件嗎
• 矩陣相似在實(shí)際問題中的應(yīng)用
• 相似矩陣的條件是什么
• 相似矩陣的性質(zhì)總結(jié)
• 線性代數(shù)伴隨矩陣和可逆矩陣公式
• 矩陣相似得出的結(jié)論

矩陣等價(jià)有什么條件嗎

矩陣等價(jià):對(duì)于矩陣A(m*n)來說，有可逆的矩陣P,Q使PAQ=B，那么B就與A等價(jià)，實(shí)質(zhì)上就是A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。

設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階非奇異矩陣P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

由上述定義可以，相似矩陣必須為相同的方陣；等價(jià)矩陣只需要（m*n）相同。

可見，相似矩陣就是等價(jià)矩陣，但是其定義比等價(jià)矩陣嚴(yán)格。

矩陣相似在實(shí)際問題中的應(yīng)用

矩陣相似與矩陣合同具體的不同點(diǎn)在于：

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對(duì)方陣而言；秩相等為必要條件；本質(zhì)是秩相等且正慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價(jià)，但等價(jià)不一定合同。

3. 總結(jié)：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換引起的。我們?cè)诰€性空間中定義矩陣和向量的乘法，并將矩陣?yán)斫獬删€性空間中“運(yùn)動(dòng)”的施加，變換坐標(biāo)系之后，同一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”在不同坐標(biāo)系下是相似的關(guān)系。我們?cè)诰€性空間中定義向量的內(nèi)積（或者說雙線性型），同一個(gè)雙線性型運(yùn)算在不同坐標(biāo)系下相差合同矩陣。之所以要換坐標(biāo)系，就是為了在最簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系下看清問題的本質(zhì)。

擴(kuò)展資料

一.矩陣相似：

1.概念：

定義1設(shè)A,B都是n階矩陣, 若存在;可逆矩陣P,使

P^(-1)AP=B,則稱B是A的相似矩陣, 并稱矩陣A與B;相似。記為A~B.

對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換, 稱可逆矩陣為相似變換矩陣.

矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，滿足：

(1);反身性: 對(duì)任意階矩陣,有相似;

(2) 對(duì)稱性: 若相似, 則與相似;

(3) 傳遞性: 若與相似, 則與相似。

2.性質(zhì)：

定理:若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從 A與B的特征值亦相同.

相似矩陣的其它性質(zhì):

(1) 相 矩陣的秩相等;

(2) 相似矩陣的行列式相等;

(3) 相似矩陣具有相同的可逆性, 當(dāng)它們可逆時(shí),則它們的逆矩陣也相似。

二.;合同矩陣;：

1.定義:同矩陣：設(shè)A,B是兩個(gè)n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得則稱;方陣A與B合同，記作。

在線性代數(shù)，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關(guān)系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場(chǎng)景是在二次型中二次型用的矩陣是;實(shí)對(duì)稱矩陣。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由這個(gè)條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質(zhì)：

合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，就是說滿足：1、;反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對(duì)稱性：;A合同 B，則可以推出;B合同于;A；3、 傳遞性：;A合同于B，B合同于C，則可以推出;A合同 C；4、合同矩陣的;秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為復(fù)數(shù)域上的n階對(duì)稱矩陣,則A與B在;復(fù)數(shù)域上合同;等價(jià)于A與B的秩相同.

（2）B均為實(shí)數(shù)域上的;n階對(duì)稱矩陣,則A與B在實(shí)數(shù)域上合同等價(jià)于A與B有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)（即正、負(fù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等）。

參考資料

矩陣相似_百度百科合同矩陣_百度百科

相似矩陣的條件是什么

沒有關(guān)系。

矩陣相似度一般是指兩個(gè)矩陣所有元素之間的相似程度

矩陣相似主要考慮其特征值。

相似矩陣的性質(zhì)總結(jié)

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得

P^(-1)AP=B

則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

注： 定理的證明過程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法。

若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來實(shí)現(xiàn)：

（1） 求出全部的特征值；

（2）對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為k,則對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個(gè)向量構(gòu)成，即為對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

參考資料來源：百度百科－相似矩陣

線性代數(shù)伴隨矩陣和可逆矩陣公式

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得

P^(-1)AP=B

則稱矩陣A與B相似，記為A~B

矩陣相似得出的結(jié)論

兩矩陣相似有：特征值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個(gè)矩陣主對(duì)角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那么其代表的就是不同坐標(biāo)系（基）的同一個(gè)線性變換。

可以得出：<=>正負(fù)慣性指數(shù)相同<=>正慣性指數(shù),秩相同=>秩相同特征值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個(gè)矩陣主對(duì)角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那么其代表的就是不同坐標(biāo)系（基）的同一個(gè)線性變換。

幾何光學(xué)：

采用近軸近似（英語(yǔ)：paraxial approximation），假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對(duì)于光線的作用，可以表達(dá)為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個(gè)分量是光線的幾何性質(zhì)（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面。

這矩陣稱為光線傳輸矩陣（英語(yǔ)：ray transfer matrix），內(nèi)中元素編碼了光學(xué)元件的性質(zhì)。對(duì)于折射，這矩陣又細(xì)分為兩種：“折射矩陣”與“平移矩陣”。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個(gè)主平面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)主平面的平移行為。