方向?qū)?shù)的梯度是什么 方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用

數(shù)學(xué)高手 我應(yīng)該怎么理解梯度和方向?qū)?shù)的含義？大一高數(shù)中的梯度和方向?qū)?shù)應(yīng)該如何理解？如何直觀形象的理解方向?qū)?shù)與梯度以及它們之間的關(guān)系？方向?qū)?shù)和梯度不太明白，請(qǐng)問梯度和方向?qū)?shù)間的區(qū)別，高數(shù)中對(duì)梯度和方向?qū)?shù)的定義。

本文導(dǎo)航

• 方向?qū)?shù)與梯度公式
• 為什么方向?qū)?shù)為0時(shí)與梯度垂直
• 梯度的定義及方向?qū)?shù)的關(guān)系
• 用梯度來求方向?qū)?shù)
• 方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用
• 梯度與方向?qū)?shù)關(guān)系公式

方向?qū)?shù)與梯度公式

通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢(shì) （也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)） 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢(shì)

當(dāng)然這樣說 是為了好理解

從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的

而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的

梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個(gè)向量

為什么方向?qū)?shù)為0時(shí)與梯度垂直

通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢(shì) （也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)） 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢(shì)

當(dāng)然這樣說 是為了好理解

從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的

而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的

梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個(gè)向量

梯度的定義及方向?qū)?shù)的關(guān)系

簡(jiǎn)單的理解，在三維坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸都有方向?qū)?shù)，是分別對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x,?f/?y,?f/?z，而梯度，則是一個(gè)向量，是對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的向量，即梯度=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)。

用梯度來求方向?qū)?shù)

當(dāng)然有區(qū)別。方向?qū)?shù)是數(shù)值，而梯度是向量，表達(dá)式也完全不一樣。自己翻翻書，如何？

方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用

定義我就不說了，你自己查一下書。

方向?qū)?shù)是函數(shù)沿各個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)，梯度是一個(gè)向量，因此梯度本身是有方向的。

它們的關(guān)系主要有兩個(gè)：

1、函數(shù)在梯度這個(gè)方向的方向?qū)?shù)是最大的，換句話說，一個(gè)函數(shù)在各個(gè)方向都有方向?qū)?shù)，其中梯度這個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)為最大；

2、函數(shù)方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。

【數(shù)學(xué)之美】團(tuán)隊(duì)為你解答，如有疑問請(qǐng)追問，如果解決問題請(qǐng)采納。

梯度與方向?qū)?shù)關(guān)系公式

但，在(x0.y0)點(diǎn)出發(fā)的方向由無窮多個(gè)，那這時(shí)函數(shù)變化快慢就由方向?qū)?shù)來反映。

假如在所在的屋頂是一個(gè)曲面，你所在的地面就是定義域，你站在一點(diǎn)，頭上對(duì)應(yīng)屋頂一點(diǎn)，當(dāng)你要從這點(diǎn)離開時(shí)，屋頂?shù)母叨仁亲兇筮€是變小，變化的程度怎樣?這就是方向?qū)?shù)反映的。

梯度的方向是一個(gè)特定的方向，你往這個(gè)方向走屋頂就向最陡峭的方向，梯度的模反映陡峭到什么程度。

一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)在這點(diǎn)變化趨勢(shì)快慢的量，并且導(dǎo)數(shù)值是反映自變量由小變大時(shí)，函數(shù)值的增大趨勢(shì)。自變量由大到小變化時(shí)，函數(shù)值的增大趨勢(shì)是由負(fù)的導(dǎo)數(shù)值描述，這點(diǎn)很重要。

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，本質(zhì)上就是一元函數(shù)z=f(x,y0)的導(dǎo)數(shù)，反映曲面上的一條平面曲線：

z=f(x,y)，y=y0,在點(diǎn)(x0.y0)這點(diǎn)沿著x由小到大的方向變化時(shí)，z=f(x,y0)的變化快慢。

顯然，對(duì)二元函數(shù)而言，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，只是反映了在點(diǎn)(x0.y0)沿著坐標(biāo)軸方向上，函數(shù)變化快慢，坐標(biāo)軸的反向變化情況，是由負(fù)的偏導(dǎo)數(shù)反映。

緊接著的問題是，沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在。因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在要求沿著坐標(biāo)軸正向的與反向的方向?qū)?shù)必須是絕對(duì)值相等符號(hào)相反才成。