方向?qū)?shù)的梯度是什么 方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用

街頭等故人2022-08-20 08:02:572949

數(shù)學(xué)高手 我應(yīng)該怎么理解梯度和方向?qū)?shù)的含義?大一高數(shù)中的梯度和方向?qū)?shù)應(yīng)該如何理解?如何直觀形象的理解方向?qū)?shù)與梯度以及它們之間的關(guān)系?方向?qū)?shù)和梯度不太明白,請(qǐng)問梯度和方向?qū)?shù)間的區(qū)別,高數(shù)中對(duì)梯度和方向?qū)?shù)的定義。

本文導(dǎo)航

方向?qū)?shù)與梯度公式

通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢(shì) (也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)) 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢(shì)

當(dāng)然這樣說 是為了好理解

從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的

而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的

梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個(gè)向量

為什么方向?qū)?shù)為0時(shí)與梯度垂直

通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢(shì) (也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)) 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢(shì)

當(dāng)然這樣說 是為了好理解

從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的

而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的

梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個(gè)向量

梯度的定義及方向?qū)?shù)的關(guān)系

簡(jiǎn)單的理解,在三維坐標(biāo)系中,三個(gè)坐標(biāo)軸都有方向?qū)?shù),是分別對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x,?f/?y,?f/?z,而梯度,則是一個(gè)向量,是對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的向量,即梯度=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)。

用梯度來求方向?qū)?shù)

當(dāng)然有區(qū)別。方向?qū)?shù)是數(shù)值,而梯度是向量,表達(dá)式也完全不一樣。自己翻翻書,如何?

方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用

定義我就不說了,你自己查一下書。

方向?qū)?shù)是函數(shù)沿各個(gè)方向的導(dǎo)數(shù),梯度是一個(gè)向量,因此梯度本身是有方向的。

它們的關(guān)系主要有兩個(gè):

1、函數(shù)在梯度這個(gè)方向的方向?qū)?shù)是最大的,換句話說,一個(gè)函數(shù)在各個(gè)方向都有方向?qū)?shù),其中梯度這個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)為最大;

2、函數(shù)方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。

【數(shù)學(xué)之美】團(tuán)隊(duì)為你解答,如有疑問請(qǐng)追問,如果解決問題請(qǐng)采納。

梯度與方向?qū)?shù)關(guān)系公式

但,在(x0.y0)點(diǎn)出發(fā)的方向由無窮多個(gè),那這時(shí)函數(shù)變化快慢就由方向?qū)?shù)來反映。

假如在所在的屋頂是一個(gè)曲面,你所在的地面就是定義域,你站在一點(diǎn),頭上對(duì)應(yīng)屋頂一點(diǎn),當(dāng)你要從這點(diǎn)離開時(shí),屋頂?shù)母叨仁亲兇筮€是變小,變化的程度怎樣?這就是方向?qū)?shù)反映的。

梯度的方向是一個(gè)特定的方向,你往這個(gè)方向走屋頂就向最陡峭的方向,梯度的模反映陡峭到什么程度。

一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)在這點(diǎn)變化趨勢(shì)快慢的量,并且導(dǎo)數(shù)值是反映自變量由小變大時(shí),函數(shù)值的增大趨勢(shì)。自變量由大到小變化時(shí),函數(shù)值的增大趨勢(shì)是由負(fù)的導(dǎo)數(shù)值描述,這點(diǎn)很重要。

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),本質(zhì)上就是一元函數(shù)z=f(x,y0)的導(dǎo)數(shù),反映曲面上的一條平面曲線:

z=f(x,y),y=y0,在點(diǎn)(x0.y0)這點(diǎn)沿著x由小到大的方向變化時(shí),z=f(x,y0)的變化快慢。

顯然,對(duì)二元函數(shù)而言,兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),只是反映了在點(diǎn)(x0.y0)沿著坐標(biāo)軸方向上,函數(shù)變化快慢,坐標(biāo)軸的反向變化情況,是由負(fù)的偏導(dǎo)數(shù)反映。

緊接著的問題是,沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在,偏導(dǎo)數(shù)不一定存在。因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在要求沿著坐標(biāo)軸正向的與反向的方向?qū)?shù)必須是絕對(duì)值相等符號(hào)相反才成。

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標(biāo)簽: 數(shù)學(xué)

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