夾逼定理怎么放縮 夾逼準(zhǔn)則怎么放縮?
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本文導(dǎo)航
求高等數(shù)學(xué)利用夾逼準(zhǔn)則做證明題的放縮技巧。
您好,實(shí)際上沒(méi)有一種通用的方法來(lái)判斷是否放縮的問(wèn)題 ,但是一般的放縮方法以及比較著名的不等式您應(yīng)該要了解。多用幾次之后自己就會(huì)形成自己的一種判斷能力。如果您需要常用的放縮不等式也可以繼續(xù)追問(wèn)。
夾逼準(zhǔn)則
夾逼準(zhǔn)則就是通過(guò)放縮,證明結(jié)果成立。
這道題中中間是原式,左邊是把原式中分母放大,于是整個(gè)式子變小,放縮的地方是把分子的1、2....n都變成n。右邊同理,分母縮小,分式變大,放縮的地方是把1、2...n都變成1。
夾逼定理英文原名Sandwich Theorem。也稱兩邊夾定理、夾逼準(zhǔn)則、夾擠定理、挾擠定理、三明治定理,是判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一,是函數(shù)極限的定理。
拓展資料:一.如果數(shù)列{Xn},{Yn}及{Zn}滿足下列條件:
(1)當(dāng)n>N0時(shí),其中N0∈N*,有Yn≤Xn≤Zn,
(2){Yn}、{Zn}有相同的極限a,設(shè)-∞<a<+∞
則,數(shù)列{Xn}的極限存在,且當(dāng) n→+∞,limXn =a。
證明:因?yàn)閘imYn=a,limZn=a,所以根據(jù)數(shù)列極限的定義,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,存在正整數(shù)N1、N2,當(dāng)n>N1時(shí) ,有〡Yn-a∣﹤ε,當(dāng)n>N2時(shí),有∣Zn-a∣﹤ε,現(xiàn)在取N=max{No,N1,N2},則當(dāng)n>N時(shí),∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同時(shí)成立,且Yn≤Xn≤Zn,即a-ε<Yn<a+ε,a-ε<Zn<a+ε,又因?yàn)?a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε,即∣Xn-a∣<ε成立。也就是說(shuō)
limXn=a
什么叫夾逼定理?
簡(jiǎn)單的說(shuō):函數(shù)A>B,函數(shù)B>C,函數(shù)A的極限是X,函數(shù)C的極限也是X ,那么函數(shù)B的極限就一定是X,這個(gè)就是夾逼定理。
英文原名Squeeze Theorem,也稱夾逼準(zhǔn)則、夾擠定理、挾擠定理、三明治定理,是判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一?! ?/p>
一.
如果數(shù)列{Xn},{Yn}及{Zn}滿足下列條件:
(1)從某項(xiàng)起,即當(dāng)n>n。,其中n。∈N,有Yn≤Xn≤Zn (n=1,2,3,……),
(2)當(dāng)n→∞,limYn =a;當(dāng)n→∞ ,limZn =a,
那么,數(shù)列{Xn}的極限存在,且當(dāng) n→∞,limXn =a。
二.
F(x)與G(x)在Xo連續(xù)且存在相同的極限A,即x→Xo時(shí), limF(x)=limG(x)=A
則若有函數(shù)f(x)在Xo的某鄰域內(nèi)恒有
F(x)≤f(x)≤G(x)
則當(dāng)X趨近Xo,有l(wèi)imF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即 A≤limf(x)≤A
故 limf(Xo)=A
簡(jiǎn)單的說(shuō):函數(shù)A>B,函數(shù)B>C,函數(shù)A的極限是X,函數(shù)C的極限也是X ,那么函數(shù)B的極限就一定是X,這個(gè)就是夾逼定理。
擴(kuò)展資料:
應(yīng)用:
1.設(shè){Xn},{Zn}為收斂數(shù)列,且:當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),數(shù)列{Xn},{Zn}的極限均為:a。
若存在N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有Xn≤Yn≤Zn,則數(shù)列{Yn}收斂,且極限為a。
2.夾逼準(zhǔn)則適用于求解無(wú)法直接用極限運(yùn)算法則求極限的函數(shù)極限,間接通過(guò)求得F(x)和G(x)的極限來(lái)確定f(x)的極限。
有些函數(shù)的極限很難或難以直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則求得,需要先判定。下面介紹幾個(gè)常用的判定數(shù)列極限的定理。
夾逼定理:
(1)當(dāng);;(這是;;的去心鄰域,有個(gè)符號(hào)打不出)時(shí),有;;成立
(2);;,那么,f(x)極限存在,且等于A不但能證明極限存在,還可以求極限,主要用放縮法。
參考資料:百度百科--夾逼定理
什么是夾逼準(zhǔn)則
夾逼定理是數(shù)列極限中非常重要的一種方法,也是容易出綜合題的點(diǎn),夾逼定理的核心就是如何對(duì)數(shù)列進(jìn)行合理的放縮,這個(gè)點(diǎn)也是夾逼定理使用過(guò)程中的難點(diǎn)。夾逼定理一般使用在n項(xiàng)和式極限中,函數(shù)不易于連續(xù)化。
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是,已知你大哥與你三弟是同一天出生,且你們?nèi)齻€(gè)是三胞胎,由此可以證明你也是那一天出生的。
變化的是n的平方后面的那項(xiàng),規(guī)律是從1到n,最大的是n,最小的是1,把所有項(xiàng)變成1,就放大了,把所有項(xiàng)變成n,就縮小了,答案立刻推出來(lái)了。
拓展資料:夾逼準(zhǔn)則就是對(duì)于3個(gè)函數(shù)a(x),b(x),c(x),若有a(x)<b(x)<c(x)在某點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)成立,而且當(dāng)x趨于x0時(shí),a(x)與c(x)的極限值相等(不妨設(shè)這個(gè)極限值為m),那么處于中間的b(x)的極限值就會(huì)自然因?yàn)樯舷陆缡諗坑谕恢祄而也等于m。
參考資料:百度百科;夾逼準(zhǔn)則兩邊夾定理放大縮小的技巧是什么?
首先要明確的是極限的證明方法。這里要用兩邊夾定理,所以放大縮小的目的是使不等號(hào)兩側(cè)的新數(shù)列極限相同。
左邊的不等號(hào)是因?yàn)椋?/2, 5/4, ..., (2n-1)/(2n-2) 都大于1, 所以都可以縮小為1
右邊的不等號(hào)是因?yàn)椋?/2, 3/4, ..., (2n-1)/2n都小于1, 所以都可以放大為1
這樣就能應(yīng)用兩邊夾定理求極限了,求極限的方法很多,很靈活,不過(guò)放大縮小是基本技巧。
擴(kuò)展資料:
簡(jiǎn)單地說(shuō):函數(shù)A>B,函數(shù)B>C,函數(shù)A的極限是X,函數(shù)C的極限也是X ,那么函數(shù)B的極限就一定是X,這個(gè)就是夾逼定理。
設(shè){Xn},{Zn}為收斂數(shù)列,且:當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),數(shù)列{Xn},{Zn}的極限均為:a。
若存在N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有Xn≤Yn≤Zn,則數(shù)列{Yn}收斂,且極限為a。
逼準(zhǔn)則適用于求解無(wú)法直接用極限運(yùn)算法則求極限的函數(shù)極限,間接通過(guò)求得F(x)和G(x)的極限來(lái)確定f(x)的極限。
參考資料來(lái)源:百度百科-夾逼定理
夾逼準(zhǔn)則怎么放縮?
兩邊要取到同一個(gè)值時(shí)才有極限。左邊是把分母放大,右邊是把分母放小,一般分子不動(dòng),只變分母。如果分母為齊次,分子恰好比分母低一階,則要運(yùn)用定積分定義來(lái)求極限。
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