函數(shù)極限是什么 函數(shù)極限是可以達到的嗎

如何理解函數(shù)極限的定義？函數(shù)極限怎么理解？函數(shù)極限的性質(zhì)是什么？

本文導航

• 七種函數(shù)極限的直接定義
• 函數(shù)極限是可以達到的嗎
• 函數(shù)和極限是什么關(guān)系

七種函數(shù)極限的直接定義

在數(shù)學分析中，極限的證明往往是用ε-δ語言來證的，而這種證明方式，也是分析數(shù)學的最精髓的地方。在下愚鈍，在大學畢業(yè)之后才慢慢領(lǐng)會這種證明方式的奧妙。ε-δ語言的主要表現(xiàn)方式是，對于函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)，對于任意正數(shù)ε,δ，有|x-x0|<δ，且|f(x)-A|<ε，則稱當x趨近x0時，f(x)趨近于A。這個定義的最大特點是，f(x)在x0處可以沒有定義，但當x無限接近x0時，f(x)無限接近某一個數(shù)A。而ε-δ語言最難理解的，無非就是ε，δ這兩個任意正數(shù)，在證明的過程中，也經(jīng)常會看到很多習題中會用2ε，ε/2等（注：吉米多維奇是一套不錯的習題，對于數(shù)學分析入門很有幫助，但若已入門，個人覺得，吉米多維奇更適合理科非數(shù)學專業(yè)做數(shù)1用）。其實我個人感覺，這里的ε，δ就是無窮小，或理解為無限接近，這兩個無窮小僅僅是符號標示的不同，其本質(zhì)都是一樣的。但無窮小不是0，最淺顯的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2)，這里x不能等于2，但當x無限接近2的時候，f(x)無限接近4。也就是說，點(x,f(x))只能無限接近(2,4)，但兩點不能重合，如何說明這個無窮小呢？我就隨便找一個任意小的正數(shù)δ，使得x與2的距離總是比它小，再隨便找一個任意小的正數(shù)ε，使得f(x)與4的距離總比ε小。

至于2ε是不是無窮小，這個問題可以說是在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分學說后，引發(fā)的第二次數(shù)學危機的一個問題，2ε是無窮小，那么3ε，4ε，……十萬乘以ε還是不是無窮小呢？（見谷堆悖論）直到后來康托創(chuàng)立集合論，才解決了第二次的數(shù)學危機。如果樓主是讀數(shù)學系，等以后學實變函數(shù)的時候，包括勒貝格的測度論，就會對這里領(lǐng)會得更為透徹。（ps：康托是個非常了不起的數(shù)學家，盡管羅素悖論引發(fā)了第三次的數(shù)學危機，以及后世人如ZF公理對康托集合論進行補充，但仍不掩康托的偉大。不得不說，康托到目前為止是不可超越的。)

函數(shù)極限是可以達到的嗎

設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)

（無論它多么?。?，總存在正數(shù)

使得當x滿足不等式

時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當

時的極限，記作

擴展資料

函數(shù)極限的四則運算法則

設f(x)和g(x)在自變量的同一變化過程中極限存在，則它們的和、差、積、商(作為分母的函數(shù)及其極限值不等于0)的極限也存在，并且極限值等于極限的和、差、積、商。非零常數(shù)乘以函數(shù)不改變函數(shù)極限的存在性。

相關(guān)定理：夾逼定理

設L(x)、f(x)、R(x)在自變量變化過程中的某去心鄰域或某無窮鄰域內(nèi)滿足L(x)≤f(x)≤R(x)，且L(x)、R(x)在自變量的該變化過程中極限存在且相等，則f(x)在該自變量的變化過程中極限也存在并且相等。

函數(shù)和極限是什么關(guān)系

函數(shù)極限的性質(zhì)：

1、唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數(shù)列的相等；

2、有界性：如果一個數(shù)列收斂（有極限），那么這個數(shù)列一定有界。但是，如果一個數(shù)列有界，這個數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列1，－1，1，－1，……（－1)n+1。

3、和實數(shù)運算的相容性：譬如：如果兩個數(shù)列{xn} ，{yn} 都收斂，那么數(shù)列 ;{xn+yn}也收斂，而且它的極限等于{xn} 的極限和{yn} 的極限的和。

4、與子列的關(guān)系：數(shù)列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時有相同的極限；數(shù)列 ;收斂的充要條件是：數(shù)列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。

幾何意義：

1、在區(qū)間（a-ε，a+ε）之外至多只有N個（有限個）點。

2、所有其他的點xN+1，xN+2，（無限個）都落在該鄰域之內(nèi)。這兩個條件缺一不可，如果一個數(shù)列能達到這兩個要求，則數(shù)列收斂于a；而如果一個數(shù)列收斂于a，則這兩個條件都能滿足。

換句話說，如果只知道區(qū)間（a-ε，a+ε）之內(nèi)有{xn}的無數(shù)項，不能保證（a-ε，a+ε）之外只有有限項，是無法得出{xn}收斂于a的，在做判斷題的時候尤其要注意這一點。