怎么求導(dǎo)驗(yàn)證單調(diào)性 怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性
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- 如何用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性?
- 導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判定方法
- 用導(dǎo)數(shù)怎么來判斷函數(shù)的單調(diào)性
- 怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性
- 怎樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性
如何用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性?
分段函數(shù)需要單獨(dú)考慮每個(gè)分段
一階導(dǎo)數(shù)大于零,函數(shù)遞增
一階導(dǎo)數(shù)等于零,有極值(拐點(diǎn))
一階導(dǎo)數(shù)小于零,函數(shù)遞減
導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判定方法
(1)若導(dǎo)數(shù)大于零,則單調(diào)遞增,若導(dǎo)數(shù)小于零,則單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)等于零為函數(shù)駐點(diǎn),不一定為極值點(diǎn),需代入駐點(diǎn)左右兩邊的數(shù)值求導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性。
(2)若已知函數(shù)為遞增函數(shù),則導(dǎo)數(shù)大于等于零,若已知函數(shù)為遞減函數(shù),則導(dǎo)數(shù)小于等于零。
用導(dǎo)數(shù)怎么來判斷函數(shù)的單調(diào)性
先寫出原函數(shù)的定義域,然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)大于零,反解出x的范圍,該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間,同理令導(dǎo)數(shù)小于零,得到減區(qū)間。若定義域在增區(qū)間內(nèi),則函數(shù)單增,若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減,若以上都不滿足,則函數(shù)不單調(diào)。
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怎么用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,其理論依據(jù)如下:
設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù);如果,則為減函數(shù)。如果,則為常數(shù)。
要用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性除掌握以上依據(jù)外還須把握好以下兩點(diǎn):
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的三個(gè)關(guān)系
我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系,才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析,前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。
1.與為增函數(shù)的關(guān)系。
由前知,能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。
2.時(shí),與為增函數(shù)的關(guān)系。
若將的根作為分界點(diǎn),因?yàn)橐?guī)定,即摳去了分界點(diǎn),此時(shí)為增函數(shù),就一定有。∴當(dāng)時(shí),是為增函數(shù)的充分必要條件。
3.與為增函數(shù)的關(guān)系。
由前分析,為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因?yàn)?,即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性?!嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題,都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討論以上問題,也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題,特別是研究以下問題時(shí)。
二.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并
函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,又知函數(shù)在處連續(xù),因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此,即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同,且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù),則二區(qū)間就可以合并為一個(gè)區(qū)間。
【例】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間。
解:(用第一種關(guān)系及單調(diào)區(qū)間的合并),當(dāng),即或時(shí),∴在,上為增函數(shù),又∵在處連續(xù),且相鄰區(qū)間的單調(diào)性又相同,∴在上為增函數(shù)。
舊教材很少提到函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并,原因在于教師很難講,學(xué)生很難把握,但是新教材引進(jìn)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)之后就很容易說明,也很容易理解了。
綜之,用導(dǎo)數(shù)證明劃分函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最常用、也是最基本的應(yīng)用,其它重要性如極值、最值等都必須用到單調(diào)性。它比用單調(diào)性的定義證明要簡單許多,劃分也容易理解得多。討論可導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行:
確定的定義域;(2)求,令,解方程求分界點(diǎn);
(3)用分屆點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開區(qū)間;
(4)判斷在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào),即可確定的單調(diào)性。
以下是前幾年高考用導(dǎo)數(shù)證明、求單調(diào)性的題目,舉例說明如下:
例1設(shè),是上的偶函數(shù)。
(i)求的值;(ii)證明在上是增函數(shù)。(2001年天津卷)
解:(i)依題意,對(duì)一切有,即,
∴對(duì)一切成立,由此得到,,又∵,∴。
(ii)證明:由,得,
當(dāng)時(shí),有,此時(shí)?!嘣谏鲜窃龊瘮?shù)。
怎樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性
對(duì)給出的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),如果導(dǎo)函數(shù)恒大于零或恒小于零,則該函數(shù)單調(diào),導(dǎo)函數(shù)恒大于零,單調(diào)遞增,恒小于零,單調(diào)遞減。如果導(dǎo)函數(shù)與x軸有交點(diǎn),則看如果導(dǎo)函數(shù)某一段的值大于零,則增,小于零,則減
根據(jù)上面可以大致畫出函數(shù)的變化圖像,值域范圍就能看出來了
希望能解決您的問題。
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