計(jì)算三重積分用什么公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系
怎樣計(jì)算三重積分？盡量通俗易懂？三重積分的計(jì)算公式，三重積分計(jì)算公式具體怎么得到的，能否說下？如何計(jì)算三重積分∫∫∫dV？用高斯公式計(jì)算三重積分∫∫∫（xy+yz+zx）dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x，三重積分球面坐標(biāo)公式是什么？
本文導(dǎo)航
求三重積分的步驟
其實(shí),三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴(kuò)展?
三重積分及其計(jì)算?
一,三重積分的概念?
將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分的定義?
其中 dv 稱為體積元,其它術(shù)語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數(shù)可積?
若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 則一定可積?
由定義可知?
三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)?
三重積分的物理背景?
以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質(zhì)量?
下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計(jì)算方法.?
二,在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法?
如果我們用三族平面 x =常數(shù),y =常數(shù), z =常數(shù)對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長方體?
其體積為?
故在直角坐標(biāo)系下的面積元為?
三重積分可寫成?
和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算?
具體可分為先單后重和先重后單?
三重積分的計(jì)算例題以及答案
您好，答案如圖所示：
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三重積分計(jì)算題300道
三重積分也是體積積分
先對長x和寬y的面積積分
再對z的高度積分即可
二重積分計(jì)算圖
計(jì)算三重積分的方法如下：
一、直角坐標(biāo)系法
適用于被積區(qū)域Ω不含圓形的區(qū)域，且要注意積分表達(dá)式的轉(zhuǎn)換和積分上下限的表示方法
1、先一后二法投影法，先計(jì)算豎直方向上的一豎條積分，再計(jì)算底面的積分。
區(qū)域條件：對積分區(qū)域Ω無限制；
函數(shù)條件：對f（x,y,z）無限制。
2、先二后一法（截面法）：先計(jì)算底面積分，再計(jì)算豎直方向上的積分。
區(qū)域條件：積分區(qū)域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成
函數(shù)條件：f（x，y）僅為一個(gè)變量的函數(shù)。
二、柱面坐標(biāo)法
1、適用被積區(qū)域Ω的投影為圓時(shí)，依具體函數(shù)設(shè)定，如設(shè)
區(qū)域條件：積分區(qū)域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；
函數(shù)條件：f（x,y,z）為含有與（或另兩種形式）相關(guān)的項(xiàng)。
三、球面坐標(biāo)系法
1、適用于被積區(qū)域Ω包含球的一部分。
區(qū)域條件：積分區(qū)域?yàn)榍蛐位蚯蛐蔚囊徊糠?，錐面也可以；
函數(shù)條件：f（x,y,z）含有與相關(guān)的項(xiàng)。
擴(kuò)展資料：
三重積分的幾何意義：
三重積分就是立體的質(zhì)量。
當(dāng)積分函數(shù)為1時(shí)，就是其密度分布均勻且為1，質(zhì)量就等于其體積值。
當(dāng)積分函數(shù)不為1時(shí)，說明密度分布不均勻。
球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分
解析如下：
令P=xy2,Q=yz2,R=zx2。
∵αP/αx=y2,αQ/αy=z2,αR/αz=x2。
∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz。
=∫∫∫(x2+y2+z2)dxdydz。
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,R>r2*r2sinφdr。
=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)。
=2πR^5/5。
設(shè)三元函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將Ω任意分割為n個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的直徑記為r?（i=1,2,...,n），體積記為Δδ?，||T||=max{r?}，在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)f（ξ?，η?，ζ?）。
作和式Σf(ξ?，η?，ζ?)Δδ?，若該和式當(dāng)||T||→0時(shí)的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點(diǎn)的選取無關(guān))，則稱該極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
曲面積分與三重積分的關(guān)系
三重積分球面坐標(biāo)公式是：
1、球面：x^2+y^2+z^2=R^2，球心在（0，0，0)，半徑為R。球面坐標(biāo)系下方程為r=R，x^2+y^2+z^2=2Rz。
2、圓柱面：x^2+y^2=R^2。
3、圓錐面：z=√（x^2+y^2)，半頂角為π／4。球面坐標(biāo)系下方程為Φ＝π／4。
4、拋物面：z=x^2+y^2。
5、平面：ax+by+cz+d=0。
向量空間中，有兩種方法將三個(gè)向量相乘，得到三重積，分別稱作標(biāo)量三重積和向量三重積。設(shè);a ，b ，c;是空間中三個(gè)向量，則（a×b）·c;稱為三個(gè)向量;a;，b;，c;的混合積，記作[a b c];或（a,b,c）或（abc）。標(biāo)量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到點(diǎn)積，其結(jié)果是個(gè)贗標(biāo)量。
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