計(jì)算三重積分用什么公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系
怎樣計(jì)算三重積分?盡量通俗易懂?三重積分的計(jì)算公式,三重積分計(jì)算公式具體怎么得到的,能否說下?如何計(jì)算三重積分∫∫∫dV?用高斯公式計(jì)算三重積分∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x,三重積分球面坐標(biāo)公式是什么?
本文導(dǎo)航
求三重積分的步驟
其實(shí),三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴(kuò)展?
三重積分及其計(jì)算?
一,三重積分的概念?
將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分的定義?
其中 dv 稱為體積元,其它術(shù)語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數(shù)可積?
若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 則一定可積?
由定義可知?
三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)?
三重積分的物理背景?
以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質(zhì)量?
下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計(jì)算方法.?
二,在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法?
如果我們用三族平面 x =常數(shù),y =常數(shù), z =常數(shù)對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長方體?
其體積為?
故在直角坐標(biāo)系下的面積元為?
三重積分可寫成?
和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算?
具體可分為先單后重和先重后單?
三重積分的計(jì)算例題以及答案
您好,答案如圖所示:
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三重積分計(jì)算題300道
三重積分也是體積積分
先對長x和寬y的面積積分
再對z的高度積分即可
二重積分計(jì)算圖
計(jì)算三重積分的方法如下:
一、直角坐標(biāo)系法
適用于被積區(qū)域Ω不含圓形的區(qū)域,且要注意積分表達(dá)式的轉(zhuǎn)換和積分上下限的表示方法
1、先一后二法投影法,先計(jì)算豎直方向上的一豎條積分,再計(jì)算底面的積分。
區(qū)域條件:對積分區(qū)域Ω無限制;
函數(shù)條件:對f(x,y,z)無限制。
2、先二后一法(截面法):先計(jì)算底面積分,再計(jì)算豎直方向上的積分。
區(qū)域條件:積分區(qū)域Ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成
函數(shù)條件:f(x,y)僅為一個(gè)變量的函數(shù)。
二、柱面坐標(biāo)法
1、適用被積區(qū)域Ω的投影為圓時(shí),依具體函數(shù)設(shè)定,如設(shè)
區(qū)域條件:積分區(qū)域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合;
函數(shù)條件:f(x,y,z)為含有與(或另兩種形式)相關(guān)的項(xiàng)。
三、球面坐標(biāo)系法
1、適用于被積區(qū)域Ω包含球的一部分。
區(qū)域條件:積分區(qū)域?yàn)榍蛐位蚯蛐蔚囊徊糠?,錐面也可以;
函數(shù)條件:f(x,y,z)含有與相關(guān)的項(xiàng)。
擴(kuò)展資料:
三重積分的幾何意義:
三重積分就是立體的質(zhì)量。
當(dāng)積分函數(shù)為1時(shí),就是其密度分布均勻且為1,質(zhì)量就等于其體積值。
當(dāng)積分函數(shù)不為1時(shí),說明密度分布不均勻。
球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分
解析如下:
令P=xy2,Q=yz2,R=zx2。
∵αP/αx=y2,αQ/αy=z2,αR/αz=x2。
∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz。
=∫∫∫(x2+y2+z2)dxdydz。
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,R>r2*r2sinφdr。
=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)。
=2πR^5/5。
設(shè)三元函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),將Ω任意分割為n個(gè)小區(qū)域,每個(gè)小區(qū)域的直徑記為r?(i=1,2,...,n),體積記為Δδ?,||T||=max{r?},在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)f(ξ?,η?,ζ?)。
作和式Σf(ξ?,η?,ζ?)Δδ?,若該和式當(dāng)||T||→0時(shí)的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點(diǎn)的選取無關(guān)),則稱該極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。
曲面積分與三重積分的關(guān)系
三重積分球面坐標(biāo)公式是:
1、球面:x^2+y^2+z^2=R^2,球心在(0,0,0),半徑為R。球面坐標(biāo)系下方程為r=R,x^2+y^2+z^2=2Rz。
2、圓柱面:x^2+y^2=R^2。
3、圓錐面:z=√(x^2+y^2),半頂角為π/4。球面坐標(biāo)系下方程為Φ=π/4。
4、拋物面:z=x^2+y^2。
5、平面:ax+by+cz+d=0。
向量空間中,有兩種方法將三個(gè)向量相乘,得到三重積,分別稱作標(biāo)量三重積和向量三重積。設(shè);a ,b ,c;是空間中三個(gè)向量,則(a×b)·c;稱為三個(gè)向量;a;,b;,c;的混合積,記作[a b c];或(a,b,c)或(abc)。標(biāo)量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到點(diǎn)積,其結(jié)果是個(gè)贗標(biāo)量。
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