怎么判定二次型正定 怎么判斷是不是二次型矩陣
簡述如何判斷一個二次型是否正定？高等代數(shù)題判別二次型是否正定票，求各位解答 需要解題步驟，怎么判定一個二次型是正定的？如何判斷一個矩陣是正定，負(fù)定二次型？怎么判定二次型是正定還是半正定？正定二次型的判定方法。
本文導(dǎo)航
正定矩陣二次型判定
設(shè)A是二次型的矩陣
則A正定(即二次型正定)的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零.
所以, 只要計算A的各階順序主子式就可以了.
當(dāng)然, 也有特殊情況, 用定義直接證明二次型正定.
數(shù)學(xué)解析幾何為啥要構(gòu)造齊次式
像這種給出了二項式的具體表達(dá)式的的問題，以下兩種方法是最好的：
1、用其矩陣的各階順序主子式，如果各階順序主子式都大于0，則二次型是正定的，否則非正定。
2、求出其矩陣的三個特征值，如果所有特征值都大于0，則則二次型是正定的，否則非正定。
第一題中，二次型的矩陣為：
5 2 0
2 1 0
0 0 3
其各階順序主子式為
P1=5>0，P2=5-4=1>0,P3=3*1=3>0
故該二次型是正定的。
第二題你可仿照這方法自己判斷以下。
如何判斷一個多項式為二次型
1、行列式法
對于給定的二次型
，寫出它的矩陣，根據(jù)對稱矩陣的所有順序主子式是否全大于零來判定二次型 (或?qū)ΨQ矩陣)的正定性。
2、正慣性指數(shù)法
對于給定的二次型 ，先將化為標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項系數(shù)為正的個數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。
通過正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此，可先求二次型矩陣的特征值，然后根據(jù)大于零的特征值個數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。
擴展資料：
二次型是n個變量上的二次齊次多項式。下面給出一個、兩個、和三個變量的二次形式：;
其中a, ...,f是系數(shù)。注意一般的二次函數(shù)和二次方程不是二次形式的例子，因為它們不總是齊次的。
任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。
術(shù)語二次型也經(jīng)常用來提及二次空間，它是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以采用涉及六個變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標(biāo)。
參考資料來源：百度百科-正定二次型
怎么判斷是不是二次型矩陣
判斷一個矩陣是正定，負(fù)定二次型的步驟如下：
1、正定二次型和負(fù)定二次型的基本定義：
2、判定正定二次型的充要條件：
3、矩陣是正定，負(fù)定二次型基本推論：
4、求二次型是否正定：
5、判斷二次型的正定性：
6、判斷二次型的正負(fù)：
7、正定二次型的簡單性質(zhì)，這樣判斷一個矩陣是正定，負(fù)定二次型的問題就解決了。
二次型判定方法
1、行列式法
對于給定的二次型
寫出它的矩陣，根據(jù)對稱矩陣的所有順序主子式是否全大于零來判定二次型 (或?qū)ΨQ矩陣)的正定性。
2、正慣性指數(shù)法
對于給定的二次型 ，先將化為標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項系數(shù)為正的個數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。
通過正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此，可先求二次型矩陣的特征值，然后根據(jù)大于零的特征值個數(shù)是否等于n來判定二次型的正定性。
正定二次型與正定矩陣的重要性
正定二次型的判定方法如下：_利用二次型的對稱矩陣的特征值來判斷. 先寫出二次型的矩陣: 可得其全部特征值:>0,>0,>0 故此二次型為正定二次型.
_利用二次矩陣的各階順序主子式來判定. 由于此二次型的矩陣為: 因為它的個階順序主子式:>0,>0,>0 故此二次型為正定二次型.
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