反常積分收斂什么意思 反常積分收斂的比較判別法是啥

什么叫收斂的反常積分？“反常積分絕對(duì)收斂”是什么意思？反常積分的斂散性是什么？主值意義下反常積分存在不代表一般意義下反常積分收斂是什么意思？反常積分到底怎么判斷收斂？反常積分的斂散性判別是什么意思？

本文導(dǎo)航

• 怎樣確定反常積分的收斂與發(fā)散
• 反常積分是什么樣的
• 判斷廣義積分和反常積分的斂散性
• 反常積分收斂性判定定理有哪些
• 反常積分收斂發(fā)散怎么判斷
• 反常積分收斂的比較判別法是啥

怎樣確定反常積分的收斂與發(fā)散

解答：

1、從1到∞的積分，1跟∞，既是積分的下限、上限，也是積分區(qū)間，沒有區(qū)別；

2、函數(shù)收斂，積分可能收斂，也可能不收斂。

例如 y = 1/x，在x→∞，是收斂的；但是積分不收斂(樓上已經(jīng)說(shuō)明)

而 y = 1/x2、y = 1/x3、y = 1/x?、、、、

在x→∞，無(wú)論函數(shù)，還是積分，都是收斂的。

反常積分是什么樣的

定義函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的任何有限區(qū)間內(nèi)可積，如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在，那么，稱之為∫(a,+∞) f(x)dx絕對(duì)收斂

1.絕對(duì)收斂什么意思？

收斂就是當(dāng)x取無(wú)窮時(shí)，函數(shù)數(shù)列趨向于一個(gè)定值。如果一個(gè)函數(shù)數(shù)列加絕對(duì)值以后還是收斂的，那就是絕對(duì)收斂。

2.證明絕對(duì)收斂的反常積分必收斂

用積分不等式，因?yàn)榉e分的絕對(duì)值不超過絕對(duì)值的積分，而絕對(duì)值收斂，則原積分收斂。

3.積分收斂就是積分有極限的意思嗎？

積分收斂是針對(duì)反常積分（非正常定積分，也稱為廣義積分）而言的。反常積分有兩類：無(wú)窮積分（積分區(qū)間是無(wú)限區(qū)間）、瑕積分（被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)是無(wú)界函數(shù)）。

判斷廣義積分和反常積分的斂散性

首先，反常積分，是相對(duì)于定積分來(lái)說(shuō)的一類積分情況。區(qū)別在于，定積分中，被積函數(shù)的x或者y在數(shù)軸上的取值范圍是有限的，是具體的，是一段有限長(zhǎng)度的距離。通常對(duì)于這個(gè)積分計(jì)算，我們可以得到具體的數(shù)值，反映在幾何意義上就是可以得到一個(gè)有限的面積的大小。

而反常積分就是在x或y的取值上，得到一個(gè)x或y在數(shù)軸上一直取到無(wú)窮，這令我們懷疑，這個(gè)積分取到這么遠(yuǎn)，那么函數(shù)下方的面積到底是有限還是無(wú)限呢？

其次，“斂散性”就是，指這個(gè)看似“反?！钡姆e分是否真的可以得到有限面積而不是無(wú)限的面積。

比如，反常積分收斂，就是這個(gè)積分計(jì)算后可以得到一個(gè)有限的面積；發(fā)散，就是得到了一個(gè)無(wú)窮大的面積。反常積分收斂或者發(fā)散的性質(zhì)稱之為斂散性。

反常積分收斂性判定定理有哪些

舉個(gè)例子:求f(x)在(負(fù)無(wú)窮,正無(wú)窮)的積分,原函數(shù)為F(x).在一般意義下,是求兩個(gè)極限F(正無(wú)窮)-F(負(fù)無(wú)窮).這兩個(gè)極限都存在,無(wú)窮積分收斂.但主值是極限lim(R趨于無(wú)窮)(F(R)-F(-R)),實(shí)際上只有一個(gè)極限.

反常積分收斂發(fā)散怎么判斷

反常積分：反常積分又叫做廣義積分，指含有無(wú)窮上限/下限，或者被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分，也就是分為無(wú)窮區(qū)間上的反常積分和無(wú)界函數(shù)的反常積分。

無(wú)窮區(qū)間上的反常積分：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,∞)上連續(xù)，稱為f(x)在[a,+∞)上的反常積分.如果右邊極限存在，稱此反常積分收斂；如果右邊極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。

無(wú)界函數(shù)的反常積分：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，且f(x)在趨向于點(diǎn)b上的極限為∞，成為f(x)在區(qū)間[a,b)上的反常積分(也稱瑕積分)，使f(x)極限為∞的點(diǎn)b稱為f(x)的奇點(diǎn)(也稱瑕點(diǎn))，這個(gè)點(diǎn)上是無(wú)法積分的。

「高等數(shù)學(xué)」反常積分的計(jì)算，并判斷它的收斂性

給出一個(gè)反常積分，并告訴我們?cè)摲闯７e分收斂，則我們可以得到哪些信息。

通過反常積分的概念，可以知道這道題指的是在無(wú)窮區(qū)間的反常積分（只要一看積分區(qū)間有∞存在，即可知道該反常積分為在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分），如果右邊的極限存在，就稱該反常積分收斂，這個(gè)概念說(shuō)明該反常積分存在極限，這道題反常積分的瑕點(diǎn)為1。

那我們便可以將該反常積分分為兩個(gè)區(qū)間來(lái)計(jì)算，一個(gè)區(qū)間是位于(0,1)，另一個(gè)區(qū)間則是位于(1,+∞)，我們可以先對(duì)第一個(gè)區(qū)間進(jìn)行判斷，因?yàn)橐屧摲闯７e分收斂，必須讓兩個(gè)區(qū)間的積分都收斂才可以。（一個(gè)是無(wú)界函數(shù)的反常積分，另一個(gè)則是無(wú)窮區(qū)間的反常積分。）

如果說(shuō)這兩個(gè)反常積分有一個(gè)不存在，就說(shuō)明該反常積分不存在（發(fā)散），反之，要說(shuō)明該反常積分存在（收斂），說(shuō)明兩個(gè)反常積分都要存在才可以。

反常積分收斂的比較判別法是啥

反常積分的斂散性判別是是極限的存在性與無(wú)窮小或無(wú)窮大的比階問題。

兩類反常積分的收斂尺度：對(duì)第一類無(wú)窮限 而言，當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，f(x)必為無(wú)窮小，并且無(wú)窮小的階次不能低于某一尺度，才能保證收斂；對(duì)第二類無(wú)界函數(shù)而言，當(dāng)x趨近于a加時(shí)，f(x)必為無(wú)窮大。且無(wú)窮小的階次不能高于某一尺度，才能保證收斂；這個(gè)尺度值一般等于1，注意識(shí)別反常積分。

定義：

一般地，我們有下列定義。

定義6.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取t>a,如果極限 當(dāng)t→+∞時(shí)lim∫f(x)dx （t為上限，a為下限）存在，就稱此極限值為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分.記作∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限）。

即 ∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t為上限，a為下限）。

這時(shí)我們說(shuō)廣義積分∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限） 存在或收斂。

如果 不存在，就說(shuō)函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)的反常積分沒有意義或發(fā)散。

類似地，可以定義 在區(qū)間(-∞,b]及取t<b上的廣義積分∫f(x)dx（b為上限，-∞為下限）。