A組秩次怎么算 向量組的秩怎么求
什么叫秩次??向量組的秩怎么求?線性代數(shù)里的秩怎么數(shù)?向量組的秩該怎么求?矩陣的秩具體求法。
本文導(dǎo)航
什么叫秩次??
秩次其實(shí)就是序數(shù),如有以下一組數(shù)字:1,2,5,6,7,9
將它們排序后對應(yīng)的秩次就是:1,2,3,4,5,6,秩和就是秩次的和,如第1個數(shù)字與第3個數(shù)字的秩和就是1+3=4.
再舉個例子:在Wilcoxon Signed Rank Test,如要進(jìn)行單個總體的中位數(shù)檢驗,如:1,3,3,4,6,6,7,9.我們要比較其中位數(shù)與5的差異,那就先將數(shù)組減去5,然后將減去5后的絕對值進(jìn)行排序,排序后組數(shù)為4,6,6,3,3,7,1,9. 本來對應(yīng)的秩次應(yīng)該是1,2,3,4,5,6,7,8, 但由于其中如4,6,6,減去5的絕對值都是1,所以4,6,6對應(yīng)秩次需要修正變?yōu)?,2,2,同理,3,3,7減5的絕對值也相等,結(jié)果此數(shù)組的秩次是:2,2,2,5,5,5,7.5,7.5
說的有點(diǎn)顛三倒四的,不知您是否看明白,呵呵.
向量組的秩怎么求
為討論方便,設(shè)A為m階方陣 證明:設(shè)方陣A的秩為n 因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換,變成形如 1 0 … 0 … 0 0 1 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 1 … 0 0 0 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 0 … 0 的矩陣,稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(注:這不是二次型的對稱矩陣提到的標(biāo)準(zhǔn)形)本題討論的是方陣,就是可以通過一系列初等行變換的標(biāo)準(zhǔn)形為主對角線前若干個是1;其余的是若干個0 以及除對角線以外的元素都是0。設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形為B 因為“m×m階矩陣構(gòu)成的數(shù)域P上的線性空間”與 “該線性空間上的全體線性變換在數(shù)域P上的線性空間”同構(gòu)。所以研究得到線性空間的性質(zhì)可以照搬到線性變換空間上應(yīng)用,從同構(gòu)的意義上說,他們是“無差別”的。(由于線性變換符號的字體不能單獨(dú)以花體字體區(qū)別,所以用形如“線性變換A”,表示線性變換用形如“矩陣A”,表示線性變換的矩陣) 前面知識應(yīng)該提到的內(nèi)容:一系列初等矩陣的乘積是非退化的,初等變換不改變矩陣的秩,初等變換是可逆的所以矩陣B的秩(1的個數(shù)),就是矩陣A的秩,就是n 因為可逆且不改變秩,所以討論矩陣B的情況,可以應(yīng)用到矩陣A上。我們隨即看到,如果線性變換B(或者說矩陣B)的秩是n,則線性變換B就是對線性空間的前n個基做恒等映射(因為基向量組沒有秩序,我們?nèi)∏皀個不會有原則性的問題)后m-n個基做零變換,所構(gòu)成的線性變換,線性變換B的特征多項式是(λ-1)^n 就可以快速找到n個線性無關(guān)的特征向量,這些特征向量直接取線性空間的前n個基就可以了。我們得到的結(jié)論是,線性變換B秩是多少,就一定找到有多少個線性無關(guān)的特征向量。因為一個特征向量只能屬于一個特征值,所以有多少個線性無關(guān)的特征向量,就有多少個特征值(不管你的特征值是不是一樣)這里有n個1,都是一樣的(從特征多項式也知道有n個重根)因為非退化的線性替換不改變空間的維數(shù),不改變矩陣的秩。 下面我們解釋重根為什么按重數(shù)計算,對矩陣B做初等行變換,第i行乘以數(shù)域P上的數(shù)k≠1(當(dāng)然,如果k=1純屬脫褲子放屁),我們的特征多項式變?yōu)?λ-1)^(n-1)*(λ-k),其它初等變換相應(yīng)類推。 借用學(xué)物理的思維,一個變換莫測的關(guān)系中,尋找守恒量是什么?這個是有意義的。而做這樣的非退化的線性變換變換,雖然特征值會隨之改變,但是守恒量是一定能找到n個線性無關(guān)的特征向量,其個數(shù)就是矩陣B(線性變換B)的秩是不變的。這樣我們就發(fā)現(xiàn)了守恒量,至于屬于不同特征向量的特征值是否相等,純屬巧合,無意義。有多少個碰巧相等的都無所謂,有多少個相等(相當(dāng)于特征多項式的幾次方),就當(dāng)然重復(fù)計算。 最后來一個問題的封閉,題目說的是方陣A 這個簡單,將矩陣B做一系列初等行變換,雖然特征多項式改變了,線性變換改變了,特征多項式也變了,但是我們發(fā)現(xiàn)的守恒量n,是不變的。
線性代數(shù)解的個數(shù)和秩的關(guān)系
矩陣的秩
2. 向量組的秩
向量組的秩:在一個m維線性空間E中,一個向量組的秩表示的是其生成的子空間的維度??紤]m× n矩陣,將A的秩定義為向量組F的秩,則可以看到如此定義的A的秩就是矩陣 A的線性無關(guān)縱列的極大數(shù)目,即 A的列空間的維度(列空間是由 A的縱列生成的 F的子空間)。因為列秩和行秩是相等的,我們也可以定義 A的秩為 A的行空間的維度。
向量組的秩的判斷
一個向量組的極大線性無關(guān)組所包含的向量的個數(shù),稱為向量組的秩;若向量組的向量都是0向量,則規(guī)定其秩為0,向量組α1,α2,···,αs的秩記為R{α1,α2,···,αs}或rank{α1,α2,···,αs}。
擴(kuò)展資料
數(shù)學(xué)實(shí)例
設(shè)有兩個向量組
(Ⅰ):α1,α2,……,αm;
(Ⅱ):β1,β2,……,βm;
如果(Ⅰ)中每個向量都可以由向量組(Ⅱ)線性表示,則稱(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示;如果(Ⅰ)與(Ⅱ)可以相互線性表示,則稱(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,記為(Ⅰ)≌(Ⅱ)。
例如:,若β1=α1+α2,β2=α1-2α2,β3=α1,則向量組(Ⅰ)={α1,α2}與向量組(Ⅱ)={β1,β2,β3}等價。事實(shí)上,給定的條件已表明(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示,又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3,α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3,這表明(Ⅰ)也可以由(Ⅱ)線性表示,由定義即知(Ⅰ)與(Ⅱ)等價。
參考資料來源:百度百科-向量組的秩
參考資料來源:百度百科-等價向量組
矩陣的秩具體求法
矩陣的秩計算公式:A=(aij)m×n
矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個概念。在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù),通常表示為r(A),rk(A)或rank;A。
在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地,行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量,秩就是這些行向量或者列向量的秩,也就是極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)。
擴(kuò)展資料:
矩陣的秩
定理:矩陣的行秩,列秩,秩都相等。
定理:初等變換不改變矩陣的秩。
定理:矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};
引理:設(shè)矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n,則A的列秩,秩都等于n。
當(dāng)r(A)<=n-2時,最高階非零子式的階數(shù)<=n-2,任何n-1階子式均為零,而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負(fù)號,所以伴隨陣為0矩陣。
當(dāng)r(A)<=n-1時,最高階非零子式的階數(shù)<=n-1,所以n-1階子式有可能不為零,所以伴隨陣有可能非零(等號成立時伴隨陣必為非零)。
參考資料來源:百度百科-矩陣的秩
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