單調(diào)有界數(shù)列怎么判 怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限?

心回歸原點(diǎn)2022-08-23 14:08:133523

什么是有界數(shù)列?怎么證明?如圖,如何證該數(shù)列是單調(diào)有界,并如何求極限?求解答?怎樣證明數(shù)列(1+1/n)^n是單調(diào)有界數(shù)列?怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限?如何證明數(shù)列單調(diào)有界?高數(shù) 關(guān)于數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則。

本文導(dǎo)航

有界數(shù)列是不是既有上界又有下界

定義:若存在兩個(gè)數(shù)A,B(設(shè)A<B),數(shù)列 中的每一項(xiàng)都在閉區(qū)間[A,B]內(nèi),亦即 ,則稱 為有界數(shù)列.這時(shí)A稱為它的下界,B稱為它的上界.關(guān)于有界數(shù)列有下面幾點(diǎn)說(shuō)明.

(1)如果B是數(shù)列 的上界,那么B+1,B+2,B+α(α>0)都是 的上界.這表明上界并不是惟一的,下界也是如此.

(2)對(duì)于數(shù)列 ,如果存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),總有 ,我們就說(shuō)數(shù)列 往后有界.要注意,往后有界一定是有界的,這是因?yàn)樵贜項(xiàng)之前只有有限多個(gè)數(shù) 在這有限個(gè)數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù),設(shè) , 那么min(A,α)和max(B,β)就是整個(gè)數(shù)列 的下界和上界.

(3)有界數(shù)列也可以這樣敘述:若存在一個(gè)正數(shù)M,使得 ,就稱 是有界數(shù)列.或者也可以這么說(shuō),若存在原點(diǎn)O的一個(gè)M鄰域O(O,M),使得所有 ,就稱 是有界數(shù)列,這種敘述和上面所給出的定義顯然是等價(jià)的.

證明數(shù)列的有界性,常用的方法是放縮法和數(shù)學(xué)歸納法。

另外畫(huà)圖.可以幫助你做一般題

或者根據(jù)題給出的部分條件,判斷是否單調(diào)什么的.沒(méi)發(fā)具體說(shuō)方法.

收斂數(shù)列一定有界,但有界數(shù)列不一定有收斂

如圖,如何證該數(shù)列是單調(diào)有界,并如何求極限?求解答~

由通項(xiàng)公式知道an={(n+9)/(2n-1)}*a[n-1]={1/2+19/(4n-2)}*a[n-1]

當(dāng)n>10時(shí),an<a[n-1],

由此知,當(dāng)n>10,該數(shù)列單調(diào)遞減,又由通項(xiàng)知,an>0,所以an有界,

由單調(diào)有界性知其極限一定存在,

設(shè)此極限為b,則當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)等式b=b*{(n+9)/(2n-1)}成立

從而解得此極限為b=0

這道題還可以把a(bǔ)n進(jìn)行放大來(lái)求解,放大后看起來(lái)會(huì)簡(jiǎn)單些,

放大后得到an的通項(xiàng)為an<bn=(a10)*(1/2)^(n-10),由bn趨于0

可得an也趨于0,從而an的極限是0

至于放大那里,我就不詳細(xì)寫(xiě)了,你自己去試試吧

怎樣證明數(shù)列(1+1/n)^n是單調(diào)有界數(shù)列

記Xn=(1+1/n)^n,按二項(xiàng)式定理展開(kāi):

Xn=(1+1/n)^n

=1+n/1!×1/n+n(n-1)/2!×1/n^2+n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3+.......+n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n

=1+1+1/2!×(1-1/n)+1/3!×(1-1/n)(1-2/n)+......+1/n!×(1-1/n)(1-2/n)...[1-(n-1)/n]

X(n+1)=[1+1/(n+1)]^(n+1)

=1 + (n+1)/1!×1/(n+1) + n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 + (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3+.......+(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n + (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)

=1+1+1/2!×(1-1/(n+1))+1/3!×(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))+......+1/n!×[1-1/(n+1)][1-2/(n+1)]...[1-(n-1)/(n+1)]+1/(n+1)!×[1-1/(n+1)][1-2/(n+1)]...[1-(n-1)/(n+1)][1-n/(n+1)]

X(n+1)比Xn多一項(xiàng),且除了前面兩個(gè)1以外的其余每項(xiàng)都比Xn的對(duì)應(yīng)項(xiàng)小,所以Xn<X(n+1),所以數(shù)列{(1+1/n)^n}單調(diào)

0<Xn=1+1+1/2!×(1-1/n)+1/3!×(1-1/n)(1-2/n)+......+1/n!×(1-1/n)(1-2/n)...[1-(n-1)/n]

<1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!

<1+1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)

=3-1/2^n

<3

所以,數(shù)列{(1+1/n)^n}有界

怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限?

同濟(jì)課本上對(duì)這個(gè)定理的說(shuō)明是: 對(duì)于這個(gè)定理我們不做證明,只是給出它的在數(shù)軸上的幾何意義,你可以參看一下. 若要考試這個(gè)問(wèn)題不會(huì)考定理證明的,而是要你先用證明某個(gè)數(shù)列的單調(diào)性,然后再證明這個(gè)數(shù)列的有界性,從而得出這個(gè)數(shù)列必是收斂的,也就是有極限存在, 然后在數(shù)列滿足的已知等式兩邊取極限假設(shè)為A,然后求方程解出A,這個(gè)A就是數(shù)列的極限值. 簡(jiǎn)單的說(shuō),就是跟根據(jù)這個(gè)準(zhǔn)則然后尋找兩個(gè)條件從而說(shuō)明極限的存在,然后算出極限值.

如何證明數(shù)列單調(diào)有界

假設(shè)x(k)<√3+1,則x(k+1)<√(3+√3+1)<√3+1,歸納可得x(n)<√3+1

數(shù)列的單調(diào)性介紹

單調(diào)有界準(zhǔn)則:

單調(diào)增函數(shù)有上界則有上確界,單調(diào)減函數(shù)有下界則有下確界。

若數(shù)列單調(diào)遞增有上界,或單調(diào)遞減有下界,則數(shù)列必存在極限。對(duì)于遞推類的數(shù)列經(jīng)常使用這一原則求極限(所謂遞推數(shù)列就是后一項(xiàng)是可以由前一項(xiàng)通過(guò)式子推出來(lái)的),在使用這個(gè)原則時(shí)一般包括兩個(gè)步驟:

1、證明數(shù)列有界(數(shù)學(xué)歸納法),單調(diào);

2、假設(shè)數(shù)列極限為A,通過(guò)遞推式兩端求極限建立關(guān)于A的方程,從而求出極限A。

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