高斯定理的積分怎么算 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式
曲面積分計(jì)算問題(高斯定理的利用,在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來的?利用高斯定理計(jì)算曲面積分,高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分???構(gòu)造如下形式的高斯求積公式。
本文導(dǎo)航
- 曲面積分計(jì)算問題(高斯定理的利用)
- 在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來的
- 利用高斯定理計(jì)算曲面積分
- 高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分啊?
- 構(gòu)造如下形式的高斯求積公式
曲面積分計(jì)算問題(高斯定理的利用)
高斯公式要求封閉的曲面,所以在下面補(bǔ)了一個(gè)面,然后再減去,最后用柱面坐標(biāo)積分,我是這么想的~~~
I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy
=∫【0,2π】d0∫【0,1】dr∫[0,(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy
=24π/5-6π=-6π/5
而∑表示的是一個(gè)拋物面,在dxdy上的投影是一個(gè)圓形面積為2π
在高斯定理中下面這個(gè)公式是如何計(jì)算出來的
4π*r平方 是 球面(高斯面)的面積。因?yàn)樵诟咚姑嫔希妶?chǎng)強(qiáng)度E大小相同,方向都垂直于高斯面,所以,∫Eds=E∫ds=E*4π*r 平方
4π*r平方,因?yàn)樵诟咚姑嫔?,電?chǎng)強(qiáng)度E大小相同,方向都垂直于高斯面,所以,∫Eds=E∫ds=E*4π*r
利用高斯定理計(jì)算曲面積分
取z=0下側(cè)為∑1
z=3上側(cè)為∑2
那么∫∫∑1 xdydz+ydzdx+zdxdy=0
∫∫∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy=3∫∫dxdy=3(9π)=27π
且根據(jù)高斯公式
∫∫∑+∑1+∑2 xdydz+ydzdx+zdxdy
=3∫∫∫dV=3(3x9π)=81π
所以
原積分=81π-0-27π=54π
高斯定理怎么把面積分變?yōu)轶w積分???
好比高斯定理的積分形式,就是一個(gè)面積分到體積分,然后根據(jù)散度的定義:(簡(jiǎn)單描述就是)矢量場(chǎng)f對(duì)封閉曲面ds的通量與封閉曲面所包圍的▽V(趨近于0時(shí))的比的極限就被稱為矢量場(chǎng)f的散度。拿電場(chǎng)來說,也就是電場(chǎng)強(qiáng)度E對(duì)ds的通量等于電場(chǎng)強(qiáng)度E的散度對(duì)體積的積分。數(shù)學(xué)表達(dá)式:通量=∫EdS=∫(▽·E)dV(前面是封閉曲面積分,后面是曲面包圍的體積分)。
構(gòu)造如下形式的高斯求積公式
高斯求積公式是變步長(zhǎng)數(shù)值積分的一種,基本形式是計(jì)算[-1,1]上的定積分。
假設(shè)現(xiàn)在要求f(x)在[-1,1]上的積分值,只允許計(jì)算一次f(x)的值,會(huì)選取一點(diǎn)x0,計(jì)算出f(x0),用A=f(x0)*2作為近似值?,F(xiàn)在問題是怎樣選取x0,使得結(jié)果盡可能精確,直覺告訴我們選取區(qū)間中點(diǎn)最合適,這也就是所謂的中點(diǎn)公式,也就是1點(diǎn)高斯求積公式。
含義
由于磁力線總是閉合曲線,因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來,否則這條磁力線就不會(huì)閉合起來了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面,定義向外為正法線的指向,則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù),出來的磁通量為正,那么就可以得到通過一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。這個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高斯定理,因此也稱為高斯定理。
以上內(nèi)容參考:百度百科-高斯公式
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