可導等價是指什么 可導但是導數(shù)不連續(xù)
可導和導數(shù)存在等價嗎?大學高數(shù)中可微,可積,可導的詳細區(qū)別與聯(lián)系是什么?函數(shù)的可導和可微是等價的嗎?可導,可微,可積分別是什么意思?可微的定義是什么?可導的定義是什么?為什么一元函數(shù)可微和可導是等價的?可微和可導有什么區(qū)別?
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可導但是導數(shù)不連續(xù)
等價的??蓪Ь褪强梢郧髮?shù),所以導數(shù)必存在。反之也成立。
大學高數(shù)公式定理大全
高等數(shù)學中有這么一句話,高數(shù)可微則必可導,這就意味著可導與可微是等價的,可導就意味著可微,可微就意味著可導。
而積分根據(jù)其幾何意義來看,函數(shù)連續(xù)則函數(shù)一定是可以積分的,因為它的幾何意義是與它與坐標軸圍城的面積是相關(guān)的,因此函數(shù)連續(xù)則函數(shù)必定可積。
函數(shù)可導指的是處處可導嗎
是等價的,具體說,函數(shù)z=u+iv在一點可導與可微是等價的.柯西黎曼條件是說這個函數(shù)的實部和虛部構(gòu)成的實函數(shù)要可微(可導),并不是這個復變函數(shù)本身可微,別弄混了。
函數(shù)的定義:給定一個數(shù)集A,假設(shè)其中的元素為x?,F(xiàn)對A中的元素x施加對應法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B。假設(shè)B中的元素為y。則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示。我們把這個關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式,簡稱函數(shù)。函數(shù)概念含有三個要素:定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
函數(shù)(function),最早由中國清朝數(shù)學家李善蘭翻譯,出于其著作《代數(shù)學》。之所以這么翻譯,他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者,則此為彼之函數(shù)”,也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化,或者說一個量中包含另一個量。函數(shù)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。
可導可微與連續(xù)的關(guān)系圖解
可導,即設(shè)y=f(x)是一個單變量函數(shù), 如果y在x=x0處左右導數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數(shù)在x0處可導,那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。
可微,設(shè)函數(shù)y= f(x),若自變量在點x的改變量Δx與函數(shù)相應的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A與Δx無關(guān),則稱函數(shù)f(x)在點x可微,并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點x的微分,記作dy,即dy=A×Δx,當x= x0時,則記作dy∣x=x0。
可積,設(shè)是定義在區(qū)間上的一個函數(shù),是一個確定的實數(shù)。若對任意的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對的任何分割,以及在其上任意選擇的點集,只要,就有,則稱在區(qū)間上可積或黎曼可積。
擴展資料:
可導,即設(shè)y=f(x)是一個單變量函數(shù), 如果y在x=x0處左右導數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數(shù)在x0處可導,那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。
可微,設(shè)函數(shù)y= f(x),若自變量在點x的改變量Δx與函數(shù)相應的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A與Δx無關(guān),則稱函數(shù)f(x)在點x可微,并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點x的微分,記作dy,即dy=A×Δx,當x= x0時,則記作dy∣x=x0。
可微=>可導=>連續(xù)=>可積,在一元函數(shù)中,可導與可微等價。
函數(shù)在x0點連續(xù)的充要條件為f(x0)=lim(x→x0)f(x),即函數(shù)在此點函數(shù)值存在,并且等于此點的極限值
若某函數(shù)在某一點導數(shù)存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導??蓪У某湟獥l件是此函數(shù)在此點必須連續(xù),并且左導數(shù)等于右倒數(shù)。
可微在一元函數(shù)中與可導等價,在多元函數(shù)中,各變量在此點的偏導數(shù)存在為其必要條件,其充要條件還要加上在此函數(shù)所表示的廣義面中在此點領(lǐng)域內(nèi)不含有“洞”存在,可含有有限個斷點。
函數(shù)可積只有充分條件為:
①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)
②在區(qū)間上不連續(xù),但只存在有限個第一類間斷點(跳躍間斷點,可去間斷點)上述條件實際上為黎曼可積條件,可以放寬,所以只是充分條件。
可導和可微,是一樣的。
可導必連續(xù),連續(xù)不一定可導。
連續(xù)必可積,可積不一定連續(xù)。
可積必有界,可界不一定可積。
函數(shù)可導的條件:
如果一個函數(shù)的定義域為全體實數(shù),即函數(shù)在其上都有定義,那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導呢?答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點可導需要一定的條件:函數(shù)在該點的左右導數(shù)存在且相等,不能證明這點導數(shù)存在。只有左右導數(shù)存在且相等,并且在該點連續(xù),才能證明該點可導。
可導的函數(shù)一定連續(xù);連續(xù)的函數(shù)不一定可導,不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。
必要條件
若函數(shù)在某點可微分,則函數(shù)在該點必連續(xù);
若二元函數(shù)在某點可微分,則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。
充分條件
若函數(shù)對x和y的偏導數(shù)在這點的某一鄰域內(nèi)都存在,且均在這點連續(xù),則該函數(shù)在這點可微。
參考資料:百度百科——可微
參考資料:百度百科——可導
參考資料:百度百科——可積函數(shù)
可微和可導的通俗理解
可微:y= f(x),Δy=A×Δx+ο(Δx)
可導:可導代表這個極限存在,顯然若函數(shù)可微,則導數(shù)存在且為A。
若函數(shù)可導則dy=A×Δx,Δy=A×Δx+ο(Δx)。
所以可微和可導等價。
可微與可導的區(qū)別舉個例子吧
一、關(guān)系不同:
一元函數(shù)中可導與可微等價,它們與可積無關(guān)。 多元函數(shù)可微必可導,而反之不成立。即:在一元函數(shù)里,可導是可微的充分必要條件;在多元函數(shù)里,可導是可微的必要條件,可微是可導的充分條件。
二、含義不同:
可微:設(shè)函數(shù)y= f(x),若自變量在點x的改變量Δx與函數(shù)相應的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A與Δx無關(guān),則稱函數(shù)f(x)在點x可微,并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點x的微分,記作dy,即dy=A×Δx,當x= x0時,則記作dy∣x=x0。
可導:即設(shè)y=f(x)是一個單變量函數(shù), 如果y在x=x0處左右導數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數(shù)在x0處可導,那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。
可微條件
必要條件
若函數(shù)在某點可微分,則函數(shù)在該點必連續(xù);
若二元函數(shù)在某點可微分,則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。
充分條件
若函數(shù)對x和y的偏導數(shù)在這點的某一鄰域內(nèi)都存在,且均在這點連續(xù),則該函數(shù)在這點可微。
以上內(nèi)容參考:百度百科-可微
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