為什么冪指函數(shù)不是一種復(fù)合函數(shù) 冪函數(shù)的三種形式

帶刺的玫瑰2022-08-27 08:06:583260

冪指函數(shù)是復(fù)合函數(shù)嗎?為什么冪指函數(shù)不是初等函數(shù),他不是由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的嘛?冪指函數(shù)是初等函數(shù)嗎?為什么冪指函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)?冪指函數(shù)是復(fù)合函數(shù)嗎?如果不一定,那么哪些情況下是,哪些情況下又不是呢?謝謝?高數(shù)。冪指函數(shù)是初等函數(shù)還是復(fù)合函數(shù)啊。

本文導(dǎo)航

什么是冪函數(shù)定義

不是

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)混合運算

它是初等函數(shù),只不過不是基本初等函數(shù)。

y=x^x=e^(xlnx), 這樣看它就是

y=e^u, 指數(shù)函數(shù)

u=xlnx,冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的積(四則運算).

冪指函數(shù)有哪些

冪指函數(shù)不是初等函數(shù),冪指函數(shù)是復(fù)合函數(shù)。

冪指函數(shù)既像冪函數(shù),又像指數(shù)函數(shù),二者的特點兼而有之。作為冪函數(shù),其冪指數(shù)確定不變,而冪底數(shù)為自變量;相反地,指數(shù)函數(shù)卻是底數(shù)確定不變,而指數(shù)為自變量。冪指函數(shù)就是冪底數(shù)和冪指數(shù)同時都為自變量的函數(shù)。這種函數(shù)的推廣,就是廣義冪指函數(shù)。

初等函數(shù)(elementary function)包括代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。初等函數(shù)是實變量或復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算(有理運算)及有限次復(fù)合后所構(gòu)成的函數(shù)類。這是分析學(xué)中最常見的函數(shù),在研究函數(shù)的一般理論中起重要作用。

不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù),只有當Mx∩Du≠Ø時,二者才可以構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為Du,值域為Mu,函數(shù)u=g(x)的定義域為Dx,值域為Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么對于Mx∩Du內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u;有唯一確定的y值與之對應(yīng),則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系,這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)(composite function),記為:y=f[g(x)],其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量(即函數(shù))。

冪函數(shù)的三種形式

冪指函數(shù)既像冪函數(shù),又像指數(shù)函數(shù),二者的特點兼而有之。作為冪函數(shù),其冪指數(shù)確定不變,而冪底數(shù)為自變量;相反地,指數(shù)函數(shù)卻是底數(shù)確定不變,而指數(shù)為自變量。冪指函數(shù)就是冪底數(shù)和冪指數(shù)同時都為自變量的函。因為當你真正深入研究這種函數(shù)時,就會發(fā)現(xiàn),在x<0時,函數(shù)圖象存在“黑洞”——無數(shù)個間斷點

數(shù)。這種函數(shù)的推廣,就是廣義冪指函數(shù)。

設(shè)函數(shù)y=f(u[1] )的定義域為Du,值域為Mu,函數(shù)u=g(x)的定義域為Dx,值域為Mx,如果Mx∩Du≠?,那么對于Mx∩Du內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u;有唯一確定的y值與之對應(yīng),則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系,這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)(composite function),記為:y=f[g(x)],其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量(即函數(shù))。

冪函數(shù)五種形式

注意恒等式

a(x)^b(x)

=

exp(b(x)ln(a(x)))

補充:

那請你先說說看冪指函數(shù)除了a(x)^b(x)的形式之外還能長什么樣子

exp(x)=e^x,是指數(shù)函數(shù)的另一種寫法

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義,任何函數(shù)都是復(fù)合函數(shù),只是很多人不把基本初等函數(shù)當成復(fù)合函數(shù)而已。

再補充:

所有的函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)!雖然這樣講實際意義并不很大。

如果你的老師認為這句話不對,那么讓他為“復(fù)合函數(shù)”提供一個合理的定義。

to

安克魯:

我告訴過你,牽涉的數(shù)學(xué)概念或者思想的問題請你慎重回答。

另外,你所謂的“x^x是指數(shù)函數(shù)而不是初等函數(shù)”完全錯誤,回去看一下初等函數(shù)的定義再下結(jié)論吧。

什么叫冪指函數(shù)

這兩個概念不是二選一關(guān)系,任何一個函數(shù)都可以表示成多個函數(shù)復(fù)合函數(shù),所以“任意一個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)”

初等函數(shù)是由冪函數(shù)(power function)、指數(shù)函數(shù)(exponential function)、對數(shù)函數(shù)(logarithmic function)、三角函數(shù)(trigonometric function)、反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算(加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方)及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生,并且能用一個解析式表示的函數(shù)。

冪指函數(shù)無法通過上述運算形成,所以不是初等函數(shù)

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