秩為1有什么性質(zhì) 矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系

矩陣A的平方等于LA,r(A)=1,則L具有什么性質(zhì)？秩等于1的矩陣都有什么特征？秩為1矩陣有什么性質(zhì)？單位向量是什么，為什么秩為1？一個(gè)矩陣的跡和秩都為1,能得出什么結(jié)論？秩等于1的矩陣,它的特征值為什么是這樣的？

本文導(dǎo)航

• a乘a的伴隨矩陣等于a的行列式證明
• 知道一個(gè)矩陣的秩可以知道什么
• 矩陣的秩等于常數(shù)意味著什么
• 單位向量為什么是錯(cuò)的
• 怎么判斷一個(gè)矩陣的秩例題
• 矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系

a乘a的伴隨矩陣等于a的行列式證明

秩為1的矩陣有個(gè)特點(diǎn)，就是一定可以寫成一個(gè)列向量乘以一個(gè)行向量

設(shè)A=αβ’（α，β都是列向量）

則A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’

注意到，(β’α)正好是A的跡tr(A) （把A寫出來很容易看出來）

所以秩為1的矩陣有性質(zhì)：A^2=tr(A)A

知道了這個(gè)接下來就好辦了

A^2=LA 其實(shí)就是

tr(A)A=LA

L就是這個(gè)性質(zhì)唄，即：L對(duì)A左作用后得到常數(shù)tr(A)再乘以A這個(gè)矩陣

所以L相對(duì)于A是一個(gè)乘法算子。

A的n次方當(dāng)然也行啦。。。利用A=αβ’容易知道，A^n=[tr(A)]^(n-1)A

其實(shí)和A就相差一個(gè)常數(shù)倍，所以是一回事！

知道一個(gè)矩陣的秩可以知道什么

行列成比例，可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身

特殊情況 如果該矩陣為方陣 那么必有特征值為（主對(duì)角線元素代數(shù)和、還有n-1個(gè)0）

矩陣的秩等于常數(shù)意味著什么

設(shè)A是秩為1的n階方陣, 則

1. A可表示為αβ^T, 其中α,β為n維列向量

2. A^k = (α^Tβ)^(k-1)A

3. tr(A)=α^Tβ

4. A的特征值為 α^Tβ,0,0,...,0

注: α^Tβ=β^Tα

單位向量為什么是錯(cuò)的

單位向量是指模等于1（長(zhǎng)度為1）的向量，

單位向量因?yàn)橹挥幸粋€(gè)向量（不是向量組），所以必為行向量或列向量，

秩的意思就是最大線性無關(guān)的向量組個(gè)數(shù)，行/列向量（非0向量）只有一個(gè)向量，所以線性無關(guān)的向量只有一個(gè)。所以秩為1

怎么判斷一個(gè)矩陣的秩例題

跡為1,說明矩陣的特征值和為1；

秩為1,說明矩陣的任意兩行或兩列都線性相關(guān)；可表示為A=a×b‘ 的形式,其中a,b為列向量； 還可得到 0是n-1重特征值,其中n為矩陣的階數(shù)；

再結(jié)合跡為1的性質(zhì),可得另外一個(gè)特征值是1

秩為1的矩陣才有這個(gè)性質(zhì),那個(gè)6是矩陣主對(duì)角線上元素之和 再答： 這樣的矩陣可以表示為一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積

這它的n次冪經(jīng)由結(jié)合律就可得到結(jié)論

、，也就是一個(gè)矩陣與另一個(gè)矩陣相乘后，新矩陣的秩一定不大于原矩陣。怎么證明呢，結(jié)合線性結(jié)合線性方程組的有解性來進(jìn)行證明的，AB=C，已經(jīng)說明了AX=C是有解的，而線性方程組的有解性與矩陣的秩的關(guān)系說明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再將此矩陣兩邊轉(zhuǎn)置，再根據(jù)線性方程組的解與矩陣的秩間關(guān)系同理可得A的秩大于等于C的秩.當(dāng)我們學(xué)習(xí)了與線性表示有關(guān)的系統(tǒng)性理論后對(duì)這個(gè)定理會(huì)有更直觀的理解。

2、矩陣左乘列滿秩矩陣后新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣，此結(jié)論希望引起大家重視，此結(jié)論就是同濟(jì)大學(xué)第五版70頁(yè)的例9，大家可以參照此過程。

3、給出一個(gè)關(guān)于矩陣的秩的一般性的結(jié)論，

矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系

按照秩的定義（行/列向量由幾個(gè)線性無關(guān)的向量張成），秩等于1的矩陣一定可以寫成A=ab, 其中a，b是列向量。那么所有和b正交的向量都是A的特征值為0的特征向量。行列成比例，可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身。

秩在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣的秩是其非零子式的最高階數(shù)，一個(gè)向量組的秩則是其最大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)。

相關(guān)信息：

在解析幾何中，矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關(guān)系。

在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統(tǒng)是否為可控制的（或可觀察的）。

數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計(jì)算的有效算法，這是一個(gè)已持續(xù)幾個(gè)世紀(jì)以來的課題，是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡(jiǎn)化了理論和實(shí)際的計(jì)算。