秩為1有什么性質(zhì) 矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系
矩陣A的平方等于LA,r(A)=1,則L具有什么性質(zhì)?秩等于1的矩陣都有什么特征?秩為1矩陣有什么性質(zhì)?單位向量是什么,為什么秩為1?一個(gè)矩陣的跡和秩都為1,能得出什么結(jié)論?秩等于1的矩陣,它的特征值為什么是這樣的?
本文導(dǎo)航
- a乘a的伴隨矩陣等于a的行列式證明
- 知道一個(gè)矩陣的秩可以知道什么
- 矩陣的秩等于常數(shù)意味著什么
- 單位向量為什么是錯(cuò)的
- 怎么判斷一個(gè)矩陣的秩例題
- 矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系
a乘a的伴隨矩陣等于a的行列式證明
秩為1的矩陣有個(gè)特點(diǎn),就是一定可以寫成一個(gè)列向量乘以一個(gè)行向量
設(shè)A=αβ’(α,β都是列向量)
則A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’
注意到,(β’α)正好是A的跡tr(A) (把A寫出來很容易看出來)
所以秩為1的矩陣有性質(zhì):A^2=tr(A)A
知道了這個(gè)接下來就好辦了
A^2=LA 其實(shí)就是
tr(A)A=LA
L就是這個(gè)性質(zhì)唄,即:L對(duì)A左作用后得到常數(shù)tr(A)再乘以A這個(gè)矩陣
所以L相對(duì)于A是一個(gè)乘法算子。
A的n次方當(dāng)然也行啦。。。利用A=αβ’容易知道,A^n=[tr(A)]^(n-1)A
其實(shí)和A就相差一個(gè)常數(shù)倍,所以是一回事!
知道一個(gè)矩陣的秩可以知道什么
行列成比例,可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身
特殊情況 如果該矩陣為方陣 那么必有特征值為(主對(duì)角線元素代數(shù)和、還有n-1個(gè)0)
矩陣的秩等于常數(shù)意味著什么
設(shè)A是秩為1的n階方陣, 則
1. A可表示為αβ^T, 其中α,β為n維列向量
2. A^k = (α^Tβ)^(k-1)A
3. tr(A)=α^Tβ
4. A的特征值為 α^Tβ,0,0,...,0
注: α^Tβ=β^Tα
單位向量為什么是錯(cuò)的
單位向量是指模等于1(長(zhǎng)度為1)的向量,
單位向量因?yàn)橹挥幸粋€(gè)向量(不是向量組),所以必為行向量或列向量,
秩的意思就是最大線性無關(guān)的向量組個(gè)數(shù),行/列向量(非0向量)只有一個(gè)向量,所以線性無關(guān)的向量只有一個(gè)。所以秩為1
怎么判斷一個(gè)矩陣的秩例題
跡為1,說明矩陣的特征值和為1;
秩為1,說明矩陣的任意兩行或兩列都線性相關(guān);可表示為A=a×b‘ 的形式,其中a,b為列向量; 還可得到 0是n-1重特征值,其中n為矩陣的階數(shù);
再結(jié)合跡為1的性質(zhì),可得另外一個(gè)特征值是1
秩為1的矩陣才有這個(gè)性質(zhì),那個(gè)6是矩陣主對(duì)角線上元素之和 再答: 這樣的矩陣可以表示為一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積
這它的n次冪經(jīng)由結(jié)合律就可得到結(jié)論
、,也就是一個(gè)矩陣與另一個(gè)矩陣相乘后,新矩陣的秩一定不大于原矩陣。怎么證明呢,結(jié)合線性結(jié)合線性方程組的有解性來進(jìn)行證明的,AB=C,已經(jīng)說明了AX=C是有解的,而線性方程組的有解性與矩陣的秩的關(guān)系說明了R(A)=R(A,C),所以A的秩大于等于C的秩,再將此矩陣兩邊轉(zhuǎn)置,再根據(jù)線性方程組的解與矩陣的秩間關(guān)系同理可得A的秩大于等于C的秩.當(dāng)我們學(xué)習(xí)了與線性表示有關(guān)的系統(tǒng)性理論后對(duì)這個(gè)定理會(huì)有更直觀的理解。
2、矩陣左乘列滿秩矩陣后新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣,此結(jié)論希望引起大家重視,此結(jié)論就是同濟(jì)大學(xué)第五版70頁(yè)的例9,大家可以參照此過程。
3、給出一個(gè)關(guān)于矩陣的秩的一般性的結(jié)論,
矩陣的秩與特征值個(gè)數(shù)有什么關(guān)系
按照秩的定義(行/列向量由幾個(gè)線性無關(guān)的向量張成),秩等于1的矩陣一定可以寫成A=ab, 其中a,b是列向量。那么所有和b正交的向量都是A的特征值為0的特征向量。行列成比例,可分解為左列右行乘積且N次冪等于矩陣的跡N-1次方乘矩陣本身。
秩在線性代數(shù)中,一個(gè)矩陣的秩是其非零子式的最高階數(shù),一個(gè)向量組的秩則是其最大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)。
相關(guān)信息:
在解析幾何中,矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關(guān)系。
在控制論中,矩陣的秩可以用來確定線性系統(tǒng)是否為可控制的(或可觀察的)。
數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計(jì)算的有效算法,這是一個(gè)已持續(xù)幾個(gè)世紀(jì)以來的課題,是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。 矩陣分解方法簡(jiǎn)化了理論和實(shí)際的計(jì)算。
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