什么叫數(shù)列的有界性 為什么數(shù)列收斂不一定有界

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本文導(dǎo)航

• 數(shù)列收斂與有界關(guān)系
• 數(shù)列極限存在該怎么證
• 數(shù)列的極限怎么理解
• 數(shù)列概念有哪些
• 為什么數(shù)列收斂不一定有界
• 數(shù)列的有界性是有上界還是下界

數(shù)列收斂與有界關(guān)系

什么是有界數(shù)列?

定義：若存在兩個(gè)數(shù)A，B(設(shè)A<B)，數(shù)列 中的每一項(xiàng)都在閉區(qū)間[A，B]內(nèi)，亦即 ，則稱 為有界數(shù)列．這時(shí)A稱為它的下界，B稱為它的上界．關(guān)于有界數(shù)列有下面幾點(diǎn)說明．

(1)如果B是數(shù)列 的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是 的上界．這表明上界并不是惟一的，下界也是如此．

(2)對于數(shù)列 ，如果存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，總有 ,我們就說數(shù)列 往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，這是因?yàn)樵贜項(xiàng)之前只有有限多個(gè)數(shù) 在這有限個(gè)數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù)，設(shè) ， 那么min(A，α)和max(B，β)就是整個(gè)數(shù)列 的下界和上界．

(3)有界數(shù)列也可以這樣敘述：若存在一個(gè)正數(shù)M，使得 ，就稱 是有界數(shù)列．或者也可以這么說，若存在原點(diǎn)O的一個(gè)M鄰域O(O，M)，使得所有 ，就稱 是有界數(shù)列，這種敘述和上面所給出的定義顯然是等價(jià)的．

無界數(shù)列相反

比如An=n就是無界數(shù)列，An=1/n是有界數(shù)列。

數(shù)列極限存在該怎么證

數(shù)列極限的有界性是指，如果一個(gè)數(shù)列有極限，那么數(shù)列的所有項(xiàng)的絕對值都小于某個(gè)常數(shù)。

如果把數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)都畫在數(shù)軸上，有界性是指：這些點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓內(nèi)，

換句話說，這些點(diǎn)不會跑到無窮遠(yuǎn)。

但反過來就不對了。數(shù)列有界卻未必有極限 。很簡單的如 an = 1+(-1)^n 。

數(shù)列的極限怎么理解

數(shù)列極限的有界性是指,如果一個(gè)數(shù)列有極限,那么數(shù)列的所有項(xiàng)的絕對值都小于某個(gè)常數(shù).

如果把數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)都畫在數(shù)軸上,有界性是指：這些點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓內(nèi),

換句話說,這些點(diǎn)不會跑到無窮遠(yuǎn).

但反過來就不對了.數(shù)列有界卻未必有極限 .很簡單的如 an = 1+(-1)^n .

數(shù)列概念有哪些

有界數(shù)列，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的定理，是指任一項(xiàng)的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項(xiàng)均不超過一個(gè)固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

若數(shù)列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M（其中M是與n無關(guān)的常數(shù)） 稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個(gè)上界。

對一切n 有Xn≥m（其中m是與n無關(guān)的常數(shù)）稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個(gè)下界。

一個(gè)數(shù)列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列{Xn}有界的一個(gè)等價(jià)定義是：存在正實(shí)數(shù)X，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

應(yīng)用：

數(shù)列有極限的必要條件：

數(shù)列單調(diào)增且有上界 或 數(shù)列單調(diào)減且有下界=>數(shù)列有極限。

為什么數(shù)列收斂不一定有界

有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項(xiàng)均不超過一個(gè)固定的區(qū)間,其中分上界和下界。

數(shù)列（sequence of number），是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。

排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示。

著名的數(shù)列有斐波那契數(shù)列，三角函數(shù)，卡特蘭數(shù)，楊輝三角等。

數(shù)列的函數(shù)理解：

①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

數(shù)列的有界性是有上界還是下界

有界數(shù)列是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的定理，是指任一項(xiàng)的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項(xiàng)均不超過一個(gè)固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

若數(shù)列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M（其中M是與n無關(guān)的常數(shù)） 稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個(gè)上界。

對一切n 有Xn≥m（其中m是與n無關(guān)的常數(shù)）稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個(gè)下界。

關(guān)于函數(shù)的有界性．應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無界，二者必屬其一。

(2)從幾何學(xué)的角度很容易判別一個(gè)函數(shù)是否有界，如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無界的。