二重積分什么時(shí)候換序 三重積分交換積分次序的基本步驟

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本文導(dǎo)航

• 二重積分積分次序的經(jīng)典例題
• 高等數(shù)學(xué)二重積分的應(yīng)用題
• 三重積分交換積分次序的基本步驟
• 有二重積分怎么交換積分順序
• 張宇300題是基礎(chǔ)300題嗎
• 張宇1000題正確率只有50%

二重積分積分次序的經(jīng)典例題

二重積分的交換積分次序交換方法是:

畫出積分區(qū)域的草圖，并解出聯(lián)立方程的交點(diǎn)坐標(biāo)；

從原則上來說，盡可能一次性地積分積出來最好，也就是說，積分區(qū)域最好是一個(gè)聯(lián)通域，在這個(gè)聯(lián)通域內(nèi)，不需要將圖形分塊。換句話說，就是一次性先從左到右然后從上到下積分，或一次性先從上到下然后從左到右積分。第一次一般是從函數(shù)積分積到函數(shù)，第二次一般是固定的一點(diǎn)積分到另一點(diǎn)。

有時(shí)候上面的方法并不適用，不得不將圖形切割成幾小塊，這是有被積函數(shù)的形式?jīng)Q定的。譬如sin(x^2)根本無法積分，如果能先對y積分，積到y(tǒng)=x，就可以積出來了。

二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動慣量，平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力等等。此外二重積分在實(shí)際生活，比如無線電中也被廣泛應(yīng)用。

二重積分的定義：

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上，將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i個(gè)子域的面積.在Δδi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，作和lim n→ ∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí),此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ，即∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（Σf(ξi,ηi)Δδi）

這時(shí),稱f(x,y)在D上可積,其中f(x,y)稱被積函數(shù),f(x,y)dδ稱為被積表達(dá)式，dδ稱為面積元素, D稱為積分域，∫∫稱為二重積分號。

同時(shí)二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動慣量，平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力等等。此外二重積分在實(shí)際生活，比如無線電中也被廣泛應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)二重積分的應(yīng)用題

再簡單不過了，由式子可知：-1≤y≤0，2≤x≤1-y，然后畫出積分區(qū)域，再交換次序好像就可以了。但發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域“畫”不出來，究竟哪里出了問題？看到y(tǒng)的范圍，你會發(fā)現(xiàn)x的上限1-y是小于等于下限的，這顯然是不合理的，所以我們在積分式前加個(gè)負(fù)號，再交換x的上下限。

故交換積分次序后的范圍：1≤x≤2，1-x≤y≤0，最后別忘記負(fù)號。

三重積分交換積分次序的基本步驟

這類題目，都是先把積分域畫出來，再交換積分變量

如第一題，把積分域畫出來就是陰影部分

至于如何畫積分域，先對第一積分變量y，畫出曲線y=根號x和y=1/x；再畫第二積分變量x的取值范圍x=1和x=2，即可得到積分域

其次交換積分次序，即x為第一積分變量，從圖上可以看出，x的積分域的下限是積分域的 “最”“左”“邊”的曲線即xy=1（y大于1小于根號2）與根號x=y（y大于二分之一小于1）這兩條曲線之和；；x積分域的上限是積分域的最右邊 即x=2

因此交換積分次序的結(jié)果為

有二重積分怎么交換積分順序

1.首先要作出積分的區(qū)域，再看先對哪個(gè)做出積分，如果先對x積分，則作一條平行于x軸的直線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的交點(diǎn)就是積分上下限，同理，如果是先對y積分，就作一條平行于y軸的，直線穿過積分上下限。

2.交換積分次序的時(shí)候，根據(jù)積分區(qū)域的不同，可能會涉及到把兩個(gè)積分合成一個(gè)積分，也可能會把一個(gè)積分分成兩個(gè)積分，所以具體依積分區(qū)域而定。

3.由已知的累次積分寫出積分的區(qū)域D，然后再畫出D的示意圖，再由D的示意圖畫出寫出D的另一類的表達(dá)式，從而就可以寫出表達(dá)式。

二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等，平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱為曲面積分。

張宇300題是基礎(chǔ)300題嗎

口訣是：后積先定限，限內(nèi)畫條線，先交寫下限，后交寫上限。

二重積分換序口訣具體的應(yīng)用：

首先要作出積分的區(qū)域，再看先對哪個(gè)做出積分，如果先對x積分，則作一條平行于x軸的直線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的交點(diǎn)就是積分上下限，同理，如果是先對y積分，就作一條平行于y軸的，直線穿過積分上下限。

交換積分次序的時(shí)候，根據(jù)積分區(qū)域的不同，可能會涉及到把兩個(gè)積分合成一個(gè)積分，也可能會把一個(gè)積分分成兩個(gè)積分，所以具體依積分區(qū)域而定。

由已知的累次積分寫出積分的區(qū)域D，然后再畫出D的示意圖，再由D的示意圖畫出寫出D的另一類的表達(dá)式，從而就可以寫出表達(dá)式。

性質(zhì)及意義：

當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積負(fù)值。

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計(jì)算。

二重積分和定積分一樣不是函數(shù)，而是一個(gè)數(shù)值。因此若一個(gè)連續(xù)函數(shù)f（x，y）內(nèi)含有二重積分，對它進(jìn)行二次積分，這個(gè)二重積分的具體數(shù)值便可以求解出來。

張宇1000題正確率只有50%

口訣是：后積先定限，限內(nèi)畫條線，先交寫下限，后交寫上限。

二重積分換序口訣具體的應(yīng)用：

首先要作出積分的區(qū)域，再看先對哪個(gè)做出積分，如果先對x積分，則作一條平行于x軸的直線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的交點(diǎn)就是積分上下限，同理，如果是先對y積分，就作一條平行于y軸的，直線穿過積分上下限。

交換積分次序的時(shí)候，根據(jù)積分區(qū)域的不同，可能會涉及到把兩個(gè)積分合成一個(gè)積分，也可能會把一個(gè)積分分成兩個(gè)積分，所以具體依積分區(qū)域而定。

由已知的累次積分寫出積分的區(qū)域D，然后再畫出D的示意圖，再由D的示意圖畫出寫出D的另一類的表達(dá)式，從而就可以寫出表達(dá)式。

性質(zhì)及意義：

當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積負(fù)值。

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計(jì)算。

二重積分和定積分一樣不是函數(shù)，而是一個(gè)數(shù)值。因此若一個(gè)連續(xù)函數(shù)f（x，y）內(nèi)含有二重積分，對它進(jìn)行二次積分，這個(gè)二重積分的具體數(shù)值便可以求解出來。