數(shù)學(xué)中的環(huán)和代數(shù)是什么 線性代數(shù)最大無關(guān)組和極大無關(guān)組

數(shù)學(xué)上的群，域，環(huán)等有什么區(qū)別和聯(lián)系？代數(shù)是什么意思？數(shù)學(xué)上的群、域、環(huán)等有什么區(qū)別和聯(lián)系？數(shù)學(xué)中，群、環(huán)、域、集分別是什么？它們的范圍不同嗎？什么是代數(shù)？什么是代數(shù)？

本文導(dǎo)航

• 數(shù)系與數(shù)集的區(qū)別與聯(lián)系
• 代數(shù)包括哪些方面
• 線性代數(shù)最大無關(guān)組和極大無關(guān)組
• 離散數(shù)學(xué)正規(guī)子群定義
• 什么叫代數(shù)意義
• 代數(shù)的含義

數(shù)系與數(shù)集的區(qū)別與聯(lián)系

（1）群：集合G上定義了二元運(yùn)算記作“ * ”，滿足以下四個(gè)條件:

• 封閉性。2.結(jié)合律。3.含幺。4.有逆。

那么該集合和二元運(yùn)算一起構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)（G，*）稱作一個(gè)群。

（2）Abel群：二元運(yùn)算還滿足交換律的群。所以Abel群也叫做交換群，是一類特殊的群。二元運(yùn)算記作“ + ”

（3）半群：集合上定義的二元運(yùn)算，滿足前兩個(gè)條件：

1.封閉性。2.結(jié)合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定義，我們來看一下什么是環(huán)和域。

（4）環(huán)：設(shè)集合R上定義了兩個(gè)二元運(yùn)算“ + ”，“ * ”且滿足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.兩種運(yùn)算滿足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

則集合R和兩個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)叫做環(huán)。

（5）域：環(huán)中的半群結(jié)構(gòu)，滿足含幺和交換律，則稱作域?？梢娪蚴且环N特殊的環(huán)。

綜上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。環(huán)是在Abel群的基礎(chǔ)上進(jìn)行“修飾”，也就是再增加一種二元運(yùn)算使得集合構(gòu)成半群，且兩種運(yùn)算滿足上面提到的分配率。最后域是環(huán)的子集，要求增加的這種二元運(yùn)算還要滿足含幺和交換律。

以上為網(wǎng)友;cfwengf; 的回答; 補(bǔ)充一下：

（5）域：環(huán)中的半群結(jié)構(gòu)，滿足含幺和交換律，則稱作域?？梢娪蚴且环N特殊的環(huán)。

此處還應(yīng)當(dāng)滿足有;逆元;才能稱為域，即域?yàn)榻粨Q的除環(huán)

參考“Abstract;Algebra;Theory;and;Applications;--Thomas;W.;Judson”2016版書中第182-183頁

代數(shù)包括哪些方面

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程（組）的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。初等代數(shù)一般在中學(xué)時(shí)講授，介紹代數(shù)的基本思想：研究當(dāng)我們對(duì)數(shù)字作加法或乘法時(shí)會(huì)發(fā)生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項(xiàng)式并找出它們的根。

代數(shù)的研究對(duì)象不僅是數(shù)字，而是各種抽象化的結(jié)構(gòu)。在其中我們只關(guān)心各種關(guān)系及其性質(zhì)，而對(duì)于“數(shù)本身是什么”這樣的問題并不關(guān)心。常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)類型有群、環(huán)、域、模、線性空間等。

擴(kuò)展資料：

代數(shù)的分類：

1、初等代數(shù)

在古代，當(dāng)算術(shù)里積累了大量的，關(guān)于各種數(shù)量問題的解法后，為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法，以解決各種數(shù)量關(guān)系的問題，就產(chǎn)生了以解代數(shù)方程的原理為中心問題的初等代數(shù)。

初等代數(shù)是研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法，更確切的說，是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，以及以它們?yōu)橄禂?shù)的代數(shù)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。

2、高等代數(shù)

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支。大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)、多項(xiàng)式代數(shù)。

高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。

參考資料來源：百度百科-代數(shù)

線性代數(shù)最大無關(guān)組和極大無關(guān)組

看了樓上的說法，我來說說個(gè)人理解

首先說說對(duì)問題的理解

1、樓主問群、域、環(huán)等，這個(gè)等還包括什么？包括模與同調(diào)嗎？包括序和格嗎？問題沒有說清楚

2、單就群、域、環(huán)來說，這幾個(gè)概念，每一個(gè)都有很多范疇，樓主具體想知道什么群、什么環(huán)呢？群包括交換群（加群）、置換群、典型群、半群、代數(shù)群、組合群、計(jì)算群、李群、拓?fù)淙旱鹊?，每個(gè)群的性質(zhì)都不太一樣，樓主你問的是哪個(gè)群呢？環(huán)包括群環(huán)、分次環(huán)、半環(huán)、微分算子環(huán)、擬環(huán)等等，樓主又問的是哪個(gè)環(huán)呢？

基于對(duì)問題提的模糊不清，我只說群基本定義、交換群（一種常見的重要群）、結(jié)合環(huán)（環(huán)的主要研究對(duì)象）、域的基本定義，說說三者的區(qū)別和聯(lián)系

概念如下：

1、群，域，環(huán)都是代數(shù)系統(tǒng)（非空集合+運(yùn)算+規(guī)則）

2、群的定義=[非空集合V]+[一個(gè)稱之為“乘法”的二元運(yùn)算（對(duì)V中任意a，b，ab=c屬于V）]+[結(jié)合律、單位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]

3、交換群就是上面的群還滿足交換律，也稱作加群，ab=ba 此時(shí)單位元用0表示，稱作零元

4、為了知道環(huán)，先說說半群，半群就是上面的群只滿足結(jié)合律即可，那么環(huán)=[非空集合V]+[兩個(gè)二元運(yùn)算（一個(gè)稱之為加法，一個(gè)稱之為乘法）]+[V對(duì)加法構(gòu)成交換群（加群），V對(duì)乘法構(gòu)成半群，乘法對(duì)加法滿足分配律]

5、域=[非空集合V]+[兩個(gè)二元運(yùn)算（一個(gè)稱之為加法，一個(gè)稱之為乘法）]+[V對(duì)加法構(gòu)成交換群，V對(duì)乘法是非零元構(gòu)成交換群，乘法對(duì)加法滿足分配律]

由以上定義可以看出

1、群是含一個(gè)二元運(yùn)算，由單位元和逆元，而交換群（加群）是還要滿足交換律，半群是群的擴(kuò)展，只滿足結(jié)合律

2、環(huán)是兩個(gè)二元運(yùn)算、對(duì)加法構(gòu)成加群，對(duì)乘法構(gòu)成半群，滿足分配律

3、域是兩個(gè)二元運(yùn)算，對(duì)加法構(gòu)成加群，對(duì)乘法構(gòu)成非零元的交換群，滿足分配律

注意半群是群的擴(kuò)展，自然包括交換群，用一句形象的話來說（僅對(duì)上面的定義），群最小、域其次、環(huán)最大

我看有人回答“域是在交換環(huán)的基礎(chǔ)上，還增加了二元運(yùn)算除法”這句話是不對(duì)的，域定義中沒有除法運(yùn)算這個(gè)概念，環(huán)和域中都有乘法運(yùn)算自然也就包括了除法這個(gè)逆運(yùn)算，這句話可以這樣說，交換環(huán)和域是等價(jià)的，因?yàn)榻粨Q環(huán)對(duì)乘法構(gòu)成的是交換群，而不是半群，

此外補(bǔ)充一下，數(shù)環(huán)、數(shù)域的定義

數(shù)環(huán)：特殊數(shù)集、復(fù)數(shù)集的非空子集P中如果和、差、乘積仍屬于P，那么P稱為數(shù)環(huán)

數(shù)域：特殊數(shù)集、復(fù)數(shù)集的非空子集P中如果和、差、乘積、商（除數(shù)不含0）仍屬于P，那么P稱為數(shù)域

由此可見數(shù)環(huán)、數(shù)域只是以數(shù)為集合的概念，而與抽象代數(shù)中環(huán)、域是有些區(qū)別的，后者更加廣義

離散數(shù)學(xué)正規(guī)子群定義

這是抽象代數(shù)的內(nèi)容:

集合是基本概念,相當(dāng)于一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。

群是特殊的集，在它上面可以定義一種運(yùn)算（通常叫做“乘法”，但跟數(shù)的乘法無必然聯(lián)系），要封閉/可結(jié)合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數(shù)/加相反數(shù)）...

例如，正有理數(shù)是乘法群，非零有理數(shù)也是乘法群，整數(shù)集在加法下成群。

注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。

環(huán)和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數(shù)的范圍內(nèi)討論：

在加/減/乘下封閉的數(shù)集是數(shù)環(huán)，如果數(shù)環(huán)在除法下也封閉，就叫數(shù)域。

某數(shù)的倍數(shù)全體（包括負(fù)的）成一數(shù)環(huán)，有理數(shù)集是最小的數(shù)域，實(shí)數(shù)集/復(fù)數(shù)集也是數(shù)域。

更深的內(nèi)容參見大學(xué)課本，抽象代數(shù)/近世代數(shù)之類......

什么叫代數(shù)意義

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程（組）的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。初等代數(shù)一般在中學(xué)時(shí)講授，介紹代數(shù)的基本思想：研究當(dāng)我們對(duì)數(shù)字作加法或乘法時(shí)會(huì)發(fā)生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項(xiàng)式并找出它們的根。代數(shù)的研究對(duì)象不僅是數(shù)字，而是各種抽象化的結(jié)構(gòu)。在其中我們只關(guān)心各種關(guān)系及其性質(zhì)，而對(duì)于“數(shù)本身是什么”這樣的問題并不關(guān)心。常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)類型有群、環(huán)、域、模、線性空間等。

代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。傳統(tǒng)的代數(shù)用有字符 (變量) 的表達(dá)式進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，字符代表未知數(shù)或未定數(shù)。如果不包括除法 (用整數(shù)除除外)，則每一個(gè)表達(dá)式都是一個(gè)含有理系數(shù)的多項(xiàng)式。例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一個(gè)代數(shù)方程式 (參見EQUATION)是通過使多項(xiàng)式等于零來表示對(duì)變量所加的條件。

如果只有一個(gè)變量，那么滿足這一方程式的將是一定數(shù)量的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)——它的根。一個(gè)代數(shù)數(shù)是某一方程式的根。代數(shù)數(shù)的理論——伽羅瓦理論是數(shù)學(xué)中最令人滿意的分支之一。建立這個(gè)理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時(shí)死于決斗中。他證明了不可能有解五次方程的代數(shù)公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規(guī)不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個(gè)角)。多于一個(gè)變量的代數(shù)方程理論屬于代數(shù)幾何學(xué)，抽象代數(shù)學(xué)處理廣義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它們與算術(shù)運(yùn)算有類似之處。參見，如： 布爾代數(shù)(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(shù)(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結(jié)構(gòu)以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特征。特別重要的是結(jié)合律和交換律。代數(shù)方法使問題的求解簡(jiǎn)化為符號(hào)表達(dá)式的操作，已滲入數(shù)學(xué)的各分支。

代數(shù)的含義

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程（組）的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。初等代數(shù)一般在中學(xué)時(shí)講授，介紹代數(shù)的基本思想：研究當(dāng)我們對(duì)數(shù)字作加法或乘法時(shí)會(huì)發(fā)生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項(xiàng)式并找出它們的根。代數(shù)的研究對(duì)象不僅是數(shù)字，而是各種抽象化的結(jié)構(gòu)。在其中我們只關(guān)心各種關(guān)系及其性質(zhì)，而對(duì)于“數(shù)本身是什么”這樣的問題并不關(guān)心。常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)類型有群、環(huán)、域、模、線性空間等。望采納，謝謝