為什么可積不一定有原函數(shù) 所有函數(shù)都有不定積分嗎
為什么積分存在卻不一定有原函數(shù)?函數(shù)可積一定存在原函數(shù)嗎?原函數(shù)存在與函數(shù)可積這個怎么理解?可積函數(shù)一定存在原函數(shù)嗎?可積是否一定存在原函數(shù),存在原函數(shù)一定可積嗎?
本文導(dǎo)航
- 所有函數(shù)都有不定積分嗎
- 任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎
- 為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)
- 函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系
- 如何證明可積函數(shù)必有界
- 一個函數(shù)連續(xù)必定會存在原函數(shù)嗎
所有函數(shù)都有不定積分嗎
積分存在和有原函數(shù)是兩回事。
積分存在應(yīng)該指的是定積分存在(也稱 Riemann 可積,見定積分的定義),而有原函數(shù)卻是指的有函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于這個函數(shù)。比如 Riemann 函數(shù) R(x) 是 Riemann 可積的,但 R(x) 的原函數(shù)是什么卻不清楚。
任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎
函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。按條件的強(qiáng)度來說,可積是個較弱的條件,因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個間斷點(diǎn)?!?可積的必要條件就是函數(shù)有界。
函數(shù)可積,只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件,也就是說,閉區(qū)間連續(xù)一定可積,且必有原函數(shù),而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。
可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件,也就是說可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。
可微是很強(qiáng)的條件,比可導(dǎo)還強(qiáng),一元函數(shù)二者等價,多元函數(shù)可微比可導(dǎo)強(qiáng)。
偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(我認(rèn)為)是最強(qiáng)的條件,可以推出上述的一切條件。一個函數(shù)如果可導(dǎo),那么它的導(dǎo)函數(shù)是不可能存在第一類間斷點(diǎn)的,所以說一個函數(shù)如果存在第一類間斷點(diǎn),那么它是不會有原函數(shù)的。
擴(kuò)展資料:
可積函數(shù)充分條件:
(1)設(shè);;在區(qū)間;;上連續(xù),則;在;上可積。
(2)設(shè);;區(qū)間;;上有界,且只有有限個間斷點(diǎn),則;在;;上可積。
(3)設(shè);;在區(qū)間;;上單調(diào)有界,則;;在;;上可積。
若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù),則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù),這是一個充分而不必要條件,也稱為“原函數(shù)存在定理”。
函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù),
故若函數(shù)f(x)有原函數(shù),那么其原函數(shù)為無窮多個。
例如:x3是3x2的一個原函數(shù),易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函數(shù)。因此,一個函數(shù)如果有一個原函數(shù),就有許許多多原函數(shù),原函數(shù)概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的。
例如:已知作直線運(yùn)動的物體在任一時刻t的速度為v=v(t),要求它的運(yùn)動規(guī)律 ,就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問題是微積分學(xué)的基本理論問題,當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時,其原函數(shù)一定存在。
為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)
如此簡單的問題,還是我來回答吧。第一,兩者絕對不等價,原函數(shù)存在不一定可積,譬如,F(xiàn)(X)的導(dǎo)數(shù)為f(x),但是f(x)是無界的,當(dāng)然不可積,這樣的例子是存在的,我手里有很多,建議數(shù)字符號不好輸,我就不列舉了。第2,可積不一定存在原函數(shù),因?yàn)楫?dāng)f(x)有界,且存在有限個間斷點(diǎn)是可積的,但是一旦這個間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn),那么雖然可積,但原函數(shù)肯定不存在的。你那個C存在,就是可積分但原函數(shù)不存在的例子
函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系
有這么兩個命題,均選自課本:
1,若f(x)在區(qū)間I上有有一類間斷點(diǎn),則f(x)在I上不存在原函數(shù)。
2,f(x)在[a,b]上有界且只有有限個間斷點(diǎn)是可積的充要條件。
這樣是不是可以說明可積的函數(shù)不一定存在原函數(shù)?我來幫他解答
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2010-9-11
20:32
滿意回答
是這樣的,可積不一定存在原函數(shù)。正好用一樓的例子,他給的函數(shù)存在第一類間斷點(diǎn),在某個閉區(qū)間內(nèi)可積,如[-1,1],可是原函數(shù)是不存在的,因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù),只能說在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù),但是對于在給定的包括0的整個定義域內(nèi)的函數(shù)來說原函數(shù)是不存在的。不知道說的是否明白,第一個命題是正確的。
如何證明可積函數(shù)必有界
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是這樣的,可積不一定存在
原函數(shù)
。正好用一樓的例子,他給的函數(shù)存在
第一類間斷點(diǎn)
,在某個
閉區(qū)間
內(nèi)可積,如[-1,1],可是原函數(shù)是不存在的,因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù),只能說在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù),但是對于在給定的包括0的整個
定義域
內(nèi)的函數(shù)來說原函數(shù)是不存在的。不知道說的是否明白,第一個命題是正確的。
一個函數(shù)連續(xù)必定會存在原函數(shù)嗎
函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。
按條件的強(qiáng)度來說,可積是個較弱的條件,因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個間斷點(diǎn)?!?/p>
可積的條件:
可積的必要條件就是函數(shù)有界。
函數(shù)可積,只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。
連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件,也就是說,閉區(qū)間連續(xù)一定可積,且必有原函數(shù),而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。
可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件,也就是說可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。
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