四色定理高考 數(shù)學(xué)中的四色問題

高三生活&數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好dansguardian難題做不出來怎么辦？四色問題這樣的話就不成立了。

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高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法8個訣竅

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運(yùn)動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理。

數(shù)學(xué)屬性是任何事物的可量度屬性，即數(shù)學(xué)屬性是事物最基本的屬性?？闪慷葘傩缘拇嬖谂c參數(shù)無關(guān)，但其結(jié)果卻取決于參數(shù)的選擇。例如：時間，不管用年、月、日還是用時、分、秒來量度；空間，不管用米、微米還是用英寸、光年來量度，它們的可量度屬性永遠(yuǎn)存在，但結(jié)果的準(zhǔn)確性與這些參照系數(shù)有關(guān)。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡單地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)。由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉嫈?shù)發(fā)展到用數(shù)字計數(shù)。

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運(yùn)用總是個人與團(tuán)體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識的加速，直至今日。

今日，數(shù)學(xué)被使用在世界上不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家亦研究沒有任何實(shí)際應(yīng)用價值的純數(shù)學(xué)，即使其應(yīng)用常會在之后被發(fā)現(xiàn)。

創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域……），序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……），拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）。

這些特點(diǎn)是同當(dāng)時社會條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時期，一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會生產(chǎn)服務(wù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法，這與當(dāng)時社會的發(fā)展情況是完全一致的。

《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當(dāng)時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展

魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。

結(jié)構(gòu)

許多如數(shù)及函數(shù)的集合等數(shù)學(xué)物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些物件的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統(tǒng)中。此為抽象代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數(shù)中。向量的研究結(jié)合了數(shù)學(xué)的三個基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。向量分析則將其擴(kuò)展至第四個基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化。

空間

空間的研究源自于幾何－尤其是歐式幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理?，F(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何物件的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯?，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域，并包含有存在久遠(yuǎn)的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗(yàn)證過。

基礎(chǔ)與哲學(xué)

為了搞清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。康托（Georg Cantor，1845-1918）首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無窮的存在，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)。Cantor的工作給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了一場革命。由于他的理論超越直觀，所以曾受到當(dāng)時一些大數(shù)學(xué)家的反對，就連被譽(yù)為“博大精深，富于創(chuàng)舉”的數(shù)學(xué)家Pioncare也把集合論比作有趣的“病理情形”，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是“神經(jīng)質(zhì)”，“走進(jìn)了超越數(shù)的地獄”.對于這些非難和指責(zé)，Cantor仍充滿信心，他說：“我的理論猶如磐石一般堅(jiān)固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.”他還指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由性，不必受傳統(tǒng)觀念束縛。”這種爭辯持續(xù)了十年之久。Cantor由于經(jīng)常處于精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂癥，最后死于精神病院。

然而，歷史終究公平地評價了他的創(chuàng)造，集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測度論，拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀(jì)初世界上最偉大的數(shù)學(xué)家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為“數(shù)學(xué)家的樂園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學(xué)家Russell把Cantor的工作譽(yù)為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。

數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實(shí)定理?，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)連性。

離散數(shù)學(xué)

離散數(shù)學(xué)是指對理論計算機(jī)科學(xué)最有用處的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之總稱，包含有可計算理論、計算復(fù)雜性理論及信息論?？捎嬎憷碚摍z查電腦的不同理論模型之極限，包含現(xiàn)知最有力的模型－圖靈機(jī)。復(fù)雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因?yàn)闀ㄙM(fèi)太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實(shí)際上可行的，盡管電腦硬件的快速進(jìn)步。最后，信息論專注在可以儲存在特定媒體內(nèi)的資料總量，且因此有壓縮及熵等概念。

做為一相對較新的領(lǐng)域，離散數(shù)學(xué)有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題－千禧年大獎難題之一。一般相信此問題的解答是否定的。

應(yīng)用數(shù)學(xué)

應(yīng)用數(shù)學(xué)思考將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)、工商業(yè)及其他領(lǐng)域上之現(xiàn)實(shí)問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計學(xué)，它利用機(jī)率論為其工具并允許對含有機(jī)會成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測。大部份的實(shí)驗(yàn)、測量及觀察研究需要統(tǒng)計對其資料的分析。(許多的統(tǒng)計學(xué)家并不認(rèn)為他們是數(shù)學(xué)家，而比較覺得是合作團(tuán)體的一份子。)數(shù)值分析研究如何有效地用電腦的方法解決大量因太大而不可能以人類的演算能力算出的數(shù)學(xué)問題；它亦包含了對計算中舍入誤差或其他來源的誤差之研究。

模糊數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義就一個側(cè)面看，在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類認(rèn)識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內(nèi)涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實(shí)就是集合。從這個意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運(yùn)算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實(shí)的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。

但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是階段性的。經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。

在較長時間里，精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運(yùn)動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。

各門學(xué)科，尤其是人文、社會學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機(jī)、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅速發(fā)展，要使計算機(jī)能像人腦那樣對復(fù)雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。

我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認(rèn)識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。

在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)……。在人們的工作經(jīng)驗(yàn)中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。

人與計算機(jī)相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現(xiàn)象。但計算機(jī)對模糊現(xiàn)象識別能力較差，為了提高計算機(jī)識別模糊現(xiàn)象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設(shè)計成機(jī)器能接受的指令和程序，以便機(jī)器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應(yīng)的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數(shù)學(xué)工具，這就推動數(shù)學(xué)家深入研究模糊數(shù)學(xué)。所以，模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有其科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)展的必然性。

廣義的數(shù)學(xué)分類

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從縱向劃分：

1、初等數(shù)學(xué)和古代數(shù)學(xué)：這是指17世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學(xué)，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術(shù)，歐洲文藝復(fù)興時期發(fā)展起來的代數(shù)方程等。

2、變量數(shù)學(xué)：是指17--19世紀(jì)初建立與發(fā)展起來的數(shù)學(xué)。從17世紀(jì)上半葉開始的變量數(shù)學(xué)時期，可以分為兩個階段：17世紀(jì)的創(chuàng)建階段（英雄時代）與18世紀(jì)的發(fā)展階段（創(chuàng)造時代）。

3、近代數(shù)學(xué)：是指19世紀(jì)的數(shù)學(xué)。近代數(shù)學(xué)時期的19世紀(jì)是數(shù)學(xué)的全面發(fā)展與成熟階段，數(shù)學(xué)的面貌發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的絕大部分分支在這一時期都已經(jīng)形成，整個數(shù)學(xué)呈現(xiàn)現(xiàn)出全面繁榮的景象。

4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)：是指20世紀(jì)的數(shù)學(xué)。1900年德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數(shù)學(xué)家大會上發(fā)表了一個著名演講，提出了23個預(yù)測和知道今后數(shù)學(xué)發(fā)展的數(shù)學(xué)問題（見下），拉開了20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的序幕。

注：希爾伯特的23個問題——

在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。

希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。 現(xiàn)在只列出一張清單：

（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。

（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。

（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題。

（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?

（6）對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。

（7）某些數(shù)的超越性的證明。

（8）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。

（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。

（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？

（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。

（12）類域的構(gòu)成問題。

（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。

（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。

（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?

（17）半正定形式的平方和表示。

（18）用全等多面體構(gòu)造空間。

（19）正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？

（20）研究一般邊值問題。

（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。

（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。

（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。

從橫向劃分：

1、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（英文：Pure Mathematics）。又稱為理論數(shù)學(xué)或純粹數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)的核心部分，包含代數(shù)、幾何、分析三大分支，分別研究數(shù)、形和數(shù)形關(guān)系。

2、應(yīng)用數(shù)學(xué)。簡單地說，也即數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

3、計算數(shù)學(xué)。研究諸如計算方法（數(shù)值分析）、數(shù)理邏輯、符號數(shù)學(xué)、計算復(fù)雜性、程序設(shè)計等方面的問題。該學(xué)科與計算機(jī)密切相關(guān)。

4、概率統(tǒng)計。分概率論與數(shù)理統(tǒng)計兩大塊。5、運(yùn)籌學(xué)與控制論。運(yùn)籌學(xué)是利用數(shù)學(xué)方法，在建立模型的基礎(chǔ)上，解決有關(guān)人力、物資、金錢等的復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)行、組織、管理等方面所出現(xiàn)的問題的一門學(xué)科。

一些從古到今的中國著名數(shù)學(xué)家的主要貢獻(xiàn)

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張丘建--<張丘建算經(jīng)>

《張丘建算經(jīng)》三卷，據(jù)錢寶琮考，約成書于公元466～485年間.張丘建,北魏時清河(今山東臨清一帶)人,生平不詳。最小公倍數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列各元素互求以及“百雞術(shù)”等是其主要成就。“百雞術(shù)”是世界著名的不定方程問題。13世紀(jì)意大利斐波那契《算經(jīng)》、15世紀(jì)阿拉伯阿爾·卡西<<算術(shù)之鑰》等著作中均出現(xiàn)有相同的問題。

朱世杰：《四元玉鑒》

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）

賈憲：〈〈黃帝九章算經(jīng)細(xì)草〉〉

中國古典數(shù)學(xué)家在宋元時期達(dá)到了高峰，這一發(fā)展的序幕是“賈憲三角”（二項(xiàng)展開系數(shù)表）的發(fā)現(xiàn)及與之密切相關(guān)的高次開方法（“增乘開方法”）的創(chuàng)立。賈憲，北宋人，約于1050年左右完成〈〈黃帝九章算經(jīng)細(xì)草〉〉，原書佚失，但其主要內(nèi)容被楊輝（約13世紀(jì)中）著作所抄錄，因能傳世。楊輝〈〈詳解九章算法〉〉（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲用此術(shù)”。這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”?！础丛斀饩耪滤惴ā怠低瑫r錄有賈憲進(jìn)行高次冪開方的“增乘開方法”。

賈憲三角在西方文獻(xiàn)中稱“帕斯卡三角”，1654年為法國數(shù)學(xué)家 B·帕斯卡重新發(fā)現(xiàn)。

秦九韶：〈〈數(shù)書九章〉〉

秦九韶（約1202～1261），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州（今廣東梅縣），不久死于任所。秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。他早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的〈〈數(shù)書九章〉〉?！础磾?shù)書九章〉〉全書共18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易）。其最重要的數(shù)學(xué)成就——“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負(fù)開方術(shù)”（高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

李冶：《測圓海鏡》——開元術(shù)

隨著高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，列方程的方法也相應(yīng)產(chǎn)生，這就是所謂“開元術(shù)”。在傳世的宋元數(shù)學(xué)著作中，首先系統(tǒng)闡述開元術(shù)的是李冶的《測圓海鏡》。

李冶（1192～1279）原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學(xué)，被元世祖忽必烈聘為翰林學(xué)士，僅一年，便辭官回家。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的就是說明用開元術(shù)列方程的方法?！伴_元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說是符號代數(shù)的嘗試。李冶還有另一部數(shù)學(xué)著作《益古演段》（1259），也是講解開元術(shù)的。

劉徽： 《海島算經(jīng)》 《九章算術(shù)注》 《九章重差圖》

263年左右，六會發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的變數(shù)無限增加時，多邊形的面積則可無限逼近圓面積，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

合體而無所失矣?！眲⒒詹捎昧艘灾贝?、無限趨近、“內(nèi)外夾逼”的思想，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”

《重差》原為《九章算術(shù)注》的第十卷，即后來的《海島算經(jīng)》，內(nèi)容是測量目標(biāo)物的高和遠(yuǎn)的計算方法。重差法是測量數(shù)學(xué)中的重要方法。

祖沖之：（公元429年—公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。他當(dāng)時就把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位(3.1415926<圓周率<3.1415927)，比西方領(lǐng)先了1500年，并得出355/113的密率，22/7的約率。寫書《綴術(shù)》，記載了他計算圓周率的方法，不過已經(jīng)失傳。

數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)

[編輯本段]

1.畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2 的誕生。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)?？墒菫槲覀兊慕?jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。由2000年后的數(shù)學(xué)家門建立的實(shí)數(shù)理論才消除它。

2.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用。貝克萊一針見血地指出牛頓在對x^n(n是正整數(shù))求導(dǎo)時既把△x不當(dāng)做0看而又把△x當(dāng)作0看是一個嚴(yán)重的自相矛盾，從而幾乎使微積分停滯不前，后來還是柯西和魏爾斯特拉斯等人提出無窮小是一個無限向0靠近，但是永遠(yuǎn)不等于0的變量，這才把微積分重新穩(wěn)固地建立在嚴(yán)格的極限理論基礎(chǔ)上，從而消滅的這次數(shù)學(xué)危機(jī)！

3.十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論。1900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……”可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。 可以說，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。比如ZF公理系統(tǒng)。這一問題的解決只現(xiàn)在還在進(jìn)行中。羅素悖論的根源在于集合論里沒有對集合的限制，以至于讓羅素能構(gòu)造一切集合的集合這樣“過大”的集合，對集合的構(gòu)造的限制至今仍然是數(shù)學(xué)界里一個巨大的難題！

當(dāng)然這些對于高三學(xué)生來說可能不具誘惑力，畢竟我也從高三過來，那么就用我的絕招：數(shù)學(xué)確實(shí)挺難，但是又有什么辦法，一門不好，就別指望高考有什么成就。在這種思想的激勵下，我更加努力，高考608，比較滿意。仁兄or 任妹，努力呀?。。?/p>

數(shù)學(xué)新手小技巧

世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一四色猜想

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！边@個結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色 猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn) 。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。

11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個貌似容易的題目, 實(shí)是一個可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力，為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機(jī)證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。不過也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。

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世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一 費(fèi)馬最后定理

被公認(rèn)執(zhí)世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有

關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標(biāo)題是「在陳年數(shù)學(xué)困局中，終於有人呼叫『

我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀(jì)歐洲學(xué)袍的

男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre de Fermat）（費(fèi)馬

小傳請參考附錄）。費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極

大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以「業(yè)余王子

」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的

數(shù)學(xué)書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)

容是有關(guān)一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時就是我們所熟知的畢氏定

理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之

兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當(dāng)然有

整數(shù)解（其實(shí)有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…

等等。

費(fèi)馬聲稱當(dāng)n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數(shù)解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法

找到整數(shù)解。

當(dāng)時費(fèi)馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙

法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費(fèi)馬也因此留下了千古的難題，三百

多年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀(jì)難題的費(fèi)馬最

后定理也就成了數(shù)學(xué)界的心頭大患，極欲解之而后快。

十九世紀(jì)時法國的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎?wù)潞?

三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞。德國的數(shù)學(xué)家佛爾夫

斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費(fèi)馬最后定理是正確的人，

有效期間為100年。其間由於經(jīng)濟(jì)大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然

如此仍然吸引不少的「數(shù)學(xué)癡」。

二十世紀(jì)電腦發(fā)展以后，許多數(shù)學(xué)家用電腦計算可以證明這個定理當(dāng)n為很大時是成立的

，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運(yùn)行5782秒證明當(dāng)n為286243-1時費(fèi)馬定理是正確

的（注286243-1為一天文數(shù)字，大約為25960位數(shù)）。

雖然如此，數(shù)學(xué)家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數(shù)學(xué)懸案終於解

決了，這個數(shù)學(xué)難題是由英國的數(shù)學(xué)家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實(shí)威利斯是

利用二十世紀(jì)過去三十年來抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果加以證明。

五0年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個有關(guān)橢圓曲現(xiàn)的猜想，后來由另一位數(shù)學(xué)家志

村五郎加以發(fā)揚(yáng)光大，當(dāng)時沒有人認(rèn)為這個猜想與費(fèi)馬定理有任何關(guān)聯(lián)。在八0年代德

國數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費(fèi)馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據(jù)這個關(guān)聯(lián)

論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進(jìn)而推出費(fèi)馬最后定理也是正確的。這個結(jié)論

由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會正式發(fā)表，這個報

告馬上震驚整個數(shù)學(xué)界，就是數(shù)學(xué)門墻外的社會大眾也寄以無限的關(guān)注。不過威利斯的

證明馬上被檢驗(yàn)出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學(xué)生又花了十四個月的時間再加以

修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數(shù)學(xué)界的夢魘終於結(jié)束。1997年6

月，威利斯在德國哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎。當(dāng)年的十萬法克約為兩百萬美金

，不過威利斯領(lǐng)到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經(jīng)名列青史，永垂不朽了。

要證明費(fèi)馬最后定理是正確的

（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數(shù)解）

只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質(zhì)數(shù))，都沒有整數(shù)解。

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世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一 哥德巴赫猜想

哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫寫信將這個問題告訴給意大利大數(shù)學(xué)家歐拉，并請他幫助作出證明。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。他們對一個個偶數(shù)開始進(jìn)行驗(yàn)算，一直算到3．3億，都表明猜想是正確的。但是對于更大的數(shù)目，猜想也應(yīng)是對的，然而不能作出證明。歐拉一直到死也沒有對此作出證明。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結(jié)論：每一個比大的偶數(shù)都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從(9十9)開始，逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。 1924年，數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年，數(shù)學(xué)家愛斯?fàn)柭C明了(6＋6)；1938年，數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了(5十5)，1940年，他又證明了(4＋4)；1956年，數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年，我國數(shù)學(xué)家王元證明了(2十3)。隨后，我國年輕的數(shù)學(xué)家陳景潤也投入到對哥德巴赫猜想的研究之中，經(jīng)過10年的刻苦鉆研，終于在前人研究的基礎(chǔ)上取得重大的突破，率先證明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陳景潤的論文于1973年發(fā)表在中國科學(xué)院的《科學(xué)通報》第17期上，這一成果受到國際數(shù)學(xué)界的重視，從而使中國的數(shù)論研究躍居世界領(lǐng)先地位，陳景潤的有關(guān)理論被稱為“陳氏定理”。1996年3月下旬，當(dāng)陳景潤即將摘下數(shù)學(xué)王冠上的這顆明珠，“在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時，他卻體力不支倒下去了……”在他身后，將會有更多的人去攀登這座高峰。

數(shù)學(xué)中的四色問題

導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三個部分。

作為前面兩個部分，都是比較容易學(xué)習(xí)的；最后一個內(nèi)容，主要是求導(dǎo)后判定函數(shù)單調(diào)性，從而求得極值與最值，如果函數(shù)與所給區(qū)間不含參數(shù)，那么也都是基本題，非常容易操作。但是一旦含有參數(shù)，那么就需要分類討論，或者分離參數(shù)，一般來說，比較麻煩。當(dāng)然，這不是教材要求，而是高考要求。