怎么判斷間斷點(diǎn) 判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型的步驟

總那么不可一世2022-07-29 10:08:401823

如何快速判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)?間斷點(diǎn)怎么判斷?如何判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)?怎么看出間斷點(diǎn)的?

本文導(dǎo)航

如何快速判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)

直接找出無定義的點(diǎn),就是間斷點(diǎn)。

然后用左右極限判斷是第一類間斷點(diǎn)還是第二類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn)包括第一類可去間斷點(diǎn)和第一類不可去間斷點(diǎn)。

如果該點(diǎn)左右極限都存在,則是第一類間斷點(diǎn),其中如果左右極限相等,則是第一類可去間斷點(diǎn),如果左右極限不相等,則是第一類不可去間斷點(diǎn),即第一類跳躍間斷點(diǎn)。如果左右極限中有一個(gè)不存在,則第二類間斷點(diǎn)。

可去間斷點(diǎn):函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等,但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義。跳躍間斷點(diǎn):函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在,但不相等??扇ラg斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn),也叫有限型間斷點(diǎn).其它間斷點(diǎn)。

擴(kuò)展資料

幾個(gè)有間斷點(diǎn)的函數(shù)

1、狄利克雷函數(shù)在定義域R上每一點(diǎn)x 都是第二類間斷點(diǎn)。

2、整數(shù)部函數(shù)與小數(shù)部函數(shù)都是在為整數(shù)時(shí)是第一類不可去間斷點(diǎn),在這些點(diǎn)仍是右連續(xù)的。

3、黎曼函數(shù),在每一個(gè)無理點(diǎn)都連續(xù),而在異與零的有理點(diǎn)都不連續(xù)。

參考資料來源:百度百科-間斷點(diǎn)及其分類

間斷點(diǎn)怎么判斷

判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型的步驟

首先要知道

第一類間斷點(diǎn)(左右極限都存在)有以下兩種

1跳躍間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的極限不相等

2可去間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的極限存在且相等

函數(shù)在該點(diǎn)無意義

第二類間斷點(diǎn)(非第一類間斷點(diǎn))也有兩種

1振蕩間斷點(diǎn)

函數(shù)在該點(diǎn)處在某兩個(gè)值比如-1和+1之間來回振蕩

2無窮間斷點(diǎn)

函數(shù)在該點(diǎn)極限不存在趨于無窮

先看函數(shù)在哪些點(diǎn)是沒有意義的

再分兩大類判斷:

無窮間斷點(diǎn)

非無窮間斷點(diǎn)

這兩種應(yīng)該很容易區(qū)分

非無窮間斷點(diǎn)

中,還分可去間斷點(diǎn)

跳躍間斷點(diǎn)

如果極限存在就是可去間斷點(diǎn),不存在就是跳躍間斷點(diǎn)

怎么看出間斷點(diǎn)的?

這里有幾個(gè)關(guān)鍵的,這幾個(gè)關(guān)鍵地方掌握了,這道題目幾乎不用計(jì)算,僅憑目測(cè)就能知道各個(gè)間斷點(diǎn)的類型,這對(duì)于做填空題、選擇題、判斷題能節(jié)省不少時(shí)間。即使對(duì)做計(jì)算題,對(duì)結(jié)果有了預(yù)知,算起來也不容易錯(cuò)。

分母在x=0、x=1、x=-1這三個(gè)點(diǎn)時(shí),分母為0,所以這三個(gè)點(diǎn)是其間斷點(diǎn)。

你看,分母中有個(gè)|x|,這就是個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。因?yàn)閨x|在x大于0和x小于0的時(shí)候,是不同的表達(dá)式。當(dāng)x>0時(shí),|x|=x,當(dāng)x<0時(shí),|x|=-x

所以f(x)在x>0和x<0的時(shí)候,有不同的表達(dá)式。因此從x<0方向趨近于0(x=0時(shí)的左極限)和從x>0的方向趨近于0(x=0時(shí)的右極限)需要用不同的表達(dá)式。所以左右極限可能會(huì)不一致。但是因?yàn)榉肿右灿衳這個(gè)因式(分子x2-x=x(x-1)),所以無論是x>0還是x<0,分子分母的x在求極限時(shí),都可以約去。所以x=0這點(diǎn)有左右極限,但左右極限不相等,是跳躍間斷點(diǎn),屬于第一類間斷點(diǎn)。

x=1時(shí),在x=1附近,x都是正數(shù),|x|表達(dá)式不變,就是x,所以f(x)在x=1左右表達(dá)式不變。所以這個(gè)點(diǎn)的左右極限情況相同,如果有,左右極限相等;如果一個(gè)無,另一個(gè)也無。而分子分母都有x-1這個(gè)因式,可以約去。所以左右極限存在且相等,是可去間斷點(diǎn),屬于第一類間斷點(diǎn)。

x=-1這個(gè)點(diǎn)附近x都是負(fù)數(shù),所以f(x)在x=-1附近表達(dá)式不變,因?yàn)閤趨近于-1時(shí),分母極限為0,分子極限不是0,所以極限是無窮大,是無窮間斷點(diǎn),屬于第二類間斷點(diǎn)。

這樣子,不需要具體計(jì)算,直接目測(cè)就能判斷了。

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標(biāo)簽: 數(shù)學(xué)

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