矩陣等價(jià)什么意思 什么算是等價(jià)矩陣

盼一舊2022-08-11 10:08:544694

什么是矩陣等價(jià)有這個(gè)定義么?矩陣等價(jià)是什么意思?矩陣的等價(jià)有什么意義?我只知道函數(shù)極限的等價(jià)有用?離散數(shù)學(xué)中矩陣的行等價(jià)是什么意思?什么叫矩陣等價(jià)?什么是矩陣等價(jià)?

本文導(dǎo)航

矩陣相似是不是一定等價(jià)

矩陣的相似:

設(shè)A,B為n階矩陣,如果有n階可逆矩陣P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

矩陣合同:

兩個(gè)矩陣和是合同的,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可逆矩陣 ,使得A=P^T*B*P.

矩陣的等價(jià):

存在可逆矩陣P、Q,使P*A*Q=B,則A與B等價(jià),充要條件就是R(A)=R(B)

什么算是等價(jià)矩陣

矩陣等價(jià):

在線性代數(shù)和矩陣論中,有兩個(gè)m×n階矩陣A和B,如果這兩個(gè)矩陣滿足B=Q-1AP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說(shuō),存在可逆矩陣,A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換得到B。

性質(zhì)

1.矩陣A和A等價(jià)(反身性);

2.矩陣A和B等價(jià),那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性);

3.矩陣A和B等價(jià),矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)(傳遞性);

4.矩陣A和B等價(jià),那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

5.具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解

6.對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣,它們的等價(jià)性也可以通過(guò)以下條件來(lái)表征:

(1)矩陣可以通過(guò)基本行和列操作的而彼此變換。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí),兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。

擴(kuò)展資料:

證明

a1,a2,....an,線性無(wú)關(guān),而a1,a2,....an,b,r線性相關(guān),所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,則x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,說(shuō)明a1,a2,...an,b線性相關(guān),同理x=0,可得a1,a2,....an,r線性相關(guān)。

若x,y都不為零,兩邊除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可證明r可以用a1,a2,....an,b表示。這就說(shuō)明a1,a2,....an,b與a1,a2,....an,r等價(jià).綜合可得命題得證。

當(dāng)A和B為同型矩陣,且r(A)=r(B)時(shí),A,B一定等價(jià)。

參考資料:百度百科-----等價(jià)矩陣

兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件

舉個(gè)例子,解析幾何中為了求線段AB的長(zhǎng)度,要先建立坐標(biāo)系,在這個(gè)坐標(biāo)系下寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)公式求出AB長(zhǎng)度。注意這里的坐標(biāo)系是可以任意選取的,選擇的坐標(biāo)系不同,A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就不同,但AB的長(zhǎng)度是不會(huì)變化的,也就是說(shuō)長(zhǎng)度是坐標(biāo)變換下的不變量?;氐骄仃嚭途€性方程組的問題,考慮最簡(jiǎn)單的一元方程x+1=0和2x+2=0,它們的解相同,但方程的形式不一樣,像這樣改變線性方程組的形式但不改變解的性質(zhì)(有無(wú)解,解是否唯一等),翻譯成矩陣語(yǔ)言就是,對(duì)矩陣做初等變換后矩陣的秩不變,我們稱這樣兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。像這種“在變化中找不變”的例子還有很多,例如線性變換中矩陣的跡是不變量等,而我們往往對(duì)這些不變量最感興趣。有了矩陣等價(jià)的概念,我們解線性方程組時(shí)就不用再對(duì)每個(gè)方程進(jìn)行變化了,而直接研究其系數(shù)構(gòu)成的矩陣,對(duì)其進(jìn)行初等變換,就可以了解方程組的解的情況,并求出方程組的解。矩陣等價(jià)用矩陣乘法表示出來(lái)就是,矩陣A,B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P和Q使得B=PAQ。注意線性代數(shù)中關(guān)于兩個(gè)矩陣之間的很多關(guān)系其實(shí)都是等價(jià)關(guān)系,例如A,B合同要求存在可逆矩陣C,使得B=(C^T)AC,A,B相似要求存在可逆矩陣P,使得B=P^(-1)AP,注意這些情況里A和B都滿足等價(jià)的定義。也就是說(shuō)矩陣合同和矩陣相似都是矩陣等價(jià)中的特例。

離散數(shù)學(xué)中所有概念

矩陣的等價(jià)是指一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等變換變到另一個(gè)矩陣,那么這兩個(gè)矩陣稱為是等價(jià)的。

如果一個(gè)矩陣只通過(guò)行初等變換(不進(jìn)行任何列變換)變到另一個(gè)矩陣,則這兩個(gè)矩陣就是行等價(jià)的。

矩陣等價(jià)的公式

矩陣的等價(jià):經(jīng)過(guò)六個(gè)初等變換的矩陣之間具有等價(jià)關(guān)系,主要是指型和秩相同。

相似的兩個(gè)矩陣一定是等價(jià)的矩陣。

等價(jià)矩陣未必相似。

按定義,如果存在可逆陣P、Q,使P*A*Q=B,則稱A與B等價(jià)。

矩陣相似的定義是:存在可逆陣P,使P^<-1>*A*P=B,則稱A與B相似,

因?yàn)镻^<-1>與P都是可逆陣,由矩陣等價(jià)的定義知,A與B是等價(jià)的。

矩陣等價(jià)怎么判斷

矩陣等價(jià):

在線性代數(shù)和矩陣論中,有兩個(gè)m×n階矩陣A和B,如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說(shuō),存在可逆矩陣(P、Q),使得A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換得到B。

擴(kuò)展資料:

矩陣等價(jià)性質(zhì)

矩陣A和A等價(jià)(反身性);

矩陣A和B等價(jià),那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性);

矩陣A和B等價(jià),矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)(傳遞性);

矩陣A和B等價(jià),那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣,它們的等價(jià)性也可以通過(guò)以下條件來(lái)表征:

(1)矩陣可以通過(guò)基本行和列操作的而彼此變換。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí),兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。

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