矩陣的秩的和等于什么 矩陣的秩與擴(kuò)展矩陣的秩的關(guān)系

請問矩陣的秩和向量組的秩在定義上和計(jì)算方法上有什么關(guān)系？矩陣中的秩是如何定義和計(jì)算的？為什么矩陣的秩等于向量組的秩？矩陣的秩是什么？一個(gè)矩陣的秩和它的逆矩陣的秩、伴隨矩陣的秩、置換后的秩有什么關(guān)系？矩陣的秩與所對應(yīng)行列式的值有什么關(guān)系？

本文導(dǎo)航

• 矩陣的秩的計(jì)算方法
• 怎樣判斷一個(gè)矩陣的秩是多少
• 矩陣的秩與向量組的解的關(guān)系
• 矩陣的階和秩
• 矩陣的秩與擴(kuò)展矩陣的秩的關(guān)系
• 矩陣和他的矩陣秩的關(guān)系

矩陣的秩的計(jì)算方法

不用矩陣的秩也行。先從向量組里面任意找出兩個(gè)向量a1,a2，判斷a1,a2的分量是否對應(yīng)成比例，如果不是，則a1,a2線性無關(guān)。繼續(xù)往a1,a2中添加向量a3，如果a3可以由a1,a2線性表示，則a1,a2,a3線性相關(guān)，那么換一個(gè)向量a4添加到a1,a2中，繼續(xù)判定a4是否可以由a1,a2線性表示。如果找不到一個(gè)向量，不能由a1,a2線性表示，那么a1,a2就是最大線性無關(guān)組。如果有一個(gè)向量a5，使得a5不能由a1,a2線性表示，那么a1,a2,a5線性無關(guān)。繼續(xù)往a1,a2,a5中添加向量。重復(fù)以上步驟，直到最后不能再添加向量，使得所得向量組線性無關(guān)，那么最后得到的向量組就是最大線性無關(guān)組。

這個(gè)方法可以找出最大線性無關(guān)組，但是不能事前就判斷出最大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)。

怎樣判斷一個(gè)矩陣的秩是多少

列向量組的秩

2.

用非零子式定義矩陣的秩等于矩陣的最高階非零子式的階

單純計(jì)算矩陣的秩時(shí),

可用初等行變換把矩陣化成梯形梯矩陣中非零行數(shù)就是矩陣

矩陣的秩與向量組的解的關(guān)系

1.這不是一個(gè)證明.因?yàn)榫仃嚨闹鹊亩x就是行向量的秩.在有些教材中,也把矩陣的秩定義為列向量的秩.所以很多書上都給出了這兩個(gè)定義的等價(jià)性.我可以給你一點(diǎn)直觀的啟發(fā).（1,1,2,3）和（2,1,1,1）這兩個(gè)向量是線性無關(guān)的,所以如果將它們合成為4X2的矩陣,那么秩就是2,這是行向量的秩序.如果看列向量,那么就有（1,2）,（1,1）,（2,1）,（3,1）四個(gè)列向量.但是在二維空間中,最多有兩個(gè)線性無關(guān)的向量,所以列向量的秩還是2.

2.這里的等價(jià)就是能否互相線性表示的意思.比如說（1,1）,（1,0）這兩個(gè)向量和（2,0）,（0,1）這兩個(gè)向量等價(jià),因?yàn)椋?,0）=1×（1,1）+1×（1,0）,即（2,0）可以由前面兩個(gè)向量線性表示.由于這兩組向量可以互相線性表示,所以等價(jià).最大無關(guān)組就是可以線性表示向量組中所有向量的最少的向量（精華向量）,所以當(dāng)然和本身等價(jià).

3.等價(jià)是可傳遞的,既然兩個(gè)最大無關(guān)組都和向量組本身等價(jià),所以他們兩個(gè)也等價(jià).

矩陣的階和秩

矩陣的秩與擴(kuò)展矩陣的秩的關(guān)系

不管在什么情況下矩陣的秩和其轉(zhuǎn)置的秩都相等，如果逆矩陣存在，即秩等于n，那么這四個(gè)秩都相等，如果秩等于n-1那么逆矩陣不存在，伴隨的秩等于1，如果矩陣的秩小于n－1那么伴隨的秩為零，當(dāng)然逆矩陣也不存在。

)A與B的地位是平等的，故A、B兩矩陣互為逆矩陣，也稱A是B的逆矩陣。

事實(shí)上，設(shè)B、C都是A的逆矩陣，則有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C。

擴(kuò)展資料

逆矩陣的性質(zhì)：

（1）逆矩陣的唯一性。

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，并記作A的逆矩陣為A-1。

（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=m。

對n階方陣A，若r(A)=n，則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。

（3）任何一個(gè)滿秩矩陣都能通過有限次初等行變換化為單位矩陣。

推論 滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。

矩陣和他的矩陣秩的關(guān)系

矩陣的秩與行列式的關(guān)系：

1、行列式為零意味著方陣不滿秩；

2、矩陣中非0子式的最高階數(shù)就是矩陣的秩；

3、超過矩陣的秩的任意階方陣行列式必為0。

矩陣A的k階子式：即在m×n矩陣A中，任取k行k列（k≤m，k≤n），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式。

先在矩陣中的m行中任選k行，得到組合；再在矩陣中的n列任選k列，得到組合。將二者相乘，便是矩陣A的k階子式計(jì)算公式。

現(xiàn)在我們可以定義矩陣的秩：設(shè)置在m×n矩陣，存在一個(gè)非零r－order子公式D，和所有r ＋一階子公式（如果有）是零，那么D被稱為最高非零子公式的矩陣A，和秩序r叫做矩陣的秩，denoated r （A），特別是零矩陣的秩等于零。

例如，我們假設(shè)一個(gè)三階矩陣S，從中我們可以得到S不再有大于三階的子矩陣，那么我們知道S的三階子矩陣只有一個(gè)｜ S ｜。如果計(jì)算｜ S ｜≠0，則S的秩為3，即R （S） ＝ 3。如果｜ S ｜等于0。

擴(kuò)展資料

1、如果矩陣中的任意r子公式不為0，且任意r＋1子公式為0，則r的階稱為矩陣的秩。為一個(gè)矩陣，有一些r－order行列式，這不是零，r－order行列式是一個(gè)矩陣，你畫r，r豎線，和交叉元素形成一個(gè)新表的數(shù)字，和的行列式表的數(shù)字被稱為矩陣的r－order子表單。

2、如果我們對矩陣做一個(gè)初等行運(yùn)算，把矩陣變換成行階梯形矩陣，那么行階梯形矩陣的非0行就是這個(gè)矩陣的秩。這是由運(yùn)算角度給出的矩陣的秩的定義，即矩陣行初等運(yùn)算后行階梯形中非零行數(shù)。

3、給定角度的線性方程，我們可以理解成為一個(gè)約束，因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)約束方程我們可以理解，當(dāng)我們把與齊次線性方程組系數(shù)矩陣，矩陣的秩是方程的數(shù)目，系統(tǒng)中真的存在。

4、秩是向量集中獨(dú)立向量的個(gè)數(shù)，類似于上述方程的角度。

參考資料來源：百度百科-行列式

參考資料來源：百度百科-矩陣的秩