滿秩線性變換是什么 線性代數(shù)矩陣乘法為什么這樣算

努力為明天2022-08-12 06:02:145706

什么叫滿秩線性變換?什么叫滿秩線性變換?線性代數(shù),為什么矩陣滿秩,他就一定可逆?滿秩是什么意思?二次型經(jīng)可逆線性變換和正交線性變換化為標準型有什么區(qū)別?可逆線性變換的解釋是什么?

本文導航

線性變換的六大特征

應該就是可你線性變換吧

即線性變換對應的矩陣是滿秩的

線性變換滿足的條件

變換矩陣是滿秩的,或者是可逆的。

線性代數(shù)矩陣乘法為什么這樣算

這是因為,方陣滿秩時,可以使用初等行變換,化成單位矩陣(相當于使用一系列初等矩陣左乘矩陣,得到單位矩陣),從而可逆。

矩陣非零子式的最高階數(shù)叫做矩陣的秩。滿秩說明整個矩陣的行列式不為零,所以可逆。

n階可逆矩陣,行列式不為0,各列向量線性無關(guān),

各列向量的秩是n, 即矩陣的秩是n, 矩陣滿秩。

擴展資料

可逆陣的行列式不為0,而矩陣的秩則是非零子式的最高階數(shù),故可逆陣是滿秩的。此結(jié)論的理解重點在掌握可逆陣的性質(zhì)、矩陣秩的概念及子式的概念。

從線性變換角度講,逆矩陣可理解為原矩陣的反向變換,比如一個向量被順時針旋轉(zhuǎn)90度,逆矩陣可將其逆時針還原90度。

滿秩和降秩含義

滿秩矩陣:設(shè)A是n階矩陣, 若r(A) = n, 則稱A為滿秩矩陣。滿秩矩陣是一個很重要的概念, 它是判斷一個矩陣是否可逆的充分必要條件。

方陣的滿秩,和方陣可逆,和方陣的行列式不等于零,和組成方陣的各個列向量線性無關(guān),和齊次方程組只有零解,這些都是等價的。

滿秩矩陣還有一個好處,就是它不改變和它相乘的矩陣的秩。因為滿秩矩陣代表著基向量張成的空間維數(shù)不變。所以一旦一個矩陣P是滿秩的,那么就有:r(PA)=r(A)。

但是如果說矩陣P不是滿秩的,也就意味著P代表著壓縮空間維度的變換。這種情況可能是因為不是方陣,也可能是因為方針的行列式為0。那么這種情況下,那么一個矩陣A與P相乘的結(jié)果,會造成秩的降低。

擴展資料

所有r+1階子式

(如果有r+1階子式的話)

稱A的秩為r,記作R(A)=r。規(guī)定:R(O)=0.

若R(A)=m,稱A為行滿秩矩陣;

若R(A)=n,稱A為列滿秩矩陣。

若R(A)=n,稱A為滿秩矩陣(可逆矩陣,非奇異矩陣);

若R(A)<n,稱A為降秩矩陣(不可逆矩陣,奇異矩陣)。

滿秩矩陣是一個很重要的概念, 它是判斷一個矩陣是否可逆的充分必要條件。

參考資料來源:百度百科-滿秩

二次型經(jīng)過正交變換后相似嗎

對二次型的矩陣而言,區(qū)別為一個是相似,一個正交相似(此時變換也是合同變換),標準形中的系數(shù)都是特征值。

可逆變換可以在很大程度上保留原有的信息;

比如二次型X^TAX,用X=CY可以得到Y(jié)^T(C^TAC)Y,研究完C^TAC的性質(zhì)之后,還可以通過Y=C^{-1}X再變回去分析原問題的性質(zhì),如果隨意用不可逆變換,那么取C=0就行了,所有標準型都是0,沒有任何價值。

擴展資料:

可逆線性變換或滿秩線性變換,是一種特殊的線性變換,設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,σ是V的線性變換,若存在V的變換τ,使στ=τσ=I,其中I為單位變換;

則σ稱為可逆線性變換,τ稱為σ的逆變換,V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換,且是惟一的,記為σ-1。線性空間的可逆線性變換的集合,對于變換的乘法構(gòu)成乘法群,稱為非奇異線性變換群。

參考資料來源:百度百科-可逆線性變換

可逆變換怎么求

可逆線性變換亦稱非退化線性變換,或滿秩線性變換,是一種特殊的線性變換,設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,σ是V的線性變換,若存在V的變換τ,使στ=τσ=I,其中I為單位變換,則σ稱為可逆線性變換,τ稱為σ的逆變換,V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換,且是惟一的,記為σ。

因為|A| = 1≠0,故A可逆.而f不是可逆線性變換所以B不可逆.所以|B| = 0即|B| = a = 0。

逆變換我用S表示:S(1)=1,S(1+x)=x,S(1+x+x^2)=x^2,即S(1)=1,S(x)=S(1+x)--S(1)=x--1,S(x^2)=S(1+x+x^2)--S(1)--S(x)=x^2--1--(x--1)=x^2--x。

可逆線性變換中的可逆說明這個線性變換是一個一一映射。

可逆變換可以在很大程度上保留原有的信息比如二次型X^TAX,用X=CY可以得到Y(jié)^T(C^TAC)Y,研究完C^TAC的性質(zhì)之后。

還可以通過Y=C^{-1}X再變回去分析原問題的性質(zhì)如果隨意用不可逆變換,那么取C=0就行了,所有標準型都是0,沒有任何價值如果不可逆的話(例如零矩陣變換),無法保證變換成標準型(此時即使變換成標準型,也不能保證唯一。)。

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