904數(shù)學(xué)教育理論是什么 數(shù)學(xué)課涉及的教育理論有哪些

數(shù)學(xué)教育的基本理論發(fā)展，教育理論是是什么？費賴登塔爾數(shù)學(xué)教育理論有什么基本觀點？

本文導(dǎo)航

• 數(shù)學(xué)課涉及的教育理論有哪些
• 教育學(xué)三大理論
• 弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育目標

數(shù)學(xué)課涉及的教育理論有哪些

詳解：

數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。”

歷史

自古以來，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系（恩格斯）”的認識（恩格斯），又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式”的認識。數(shù)學(xué)既可以來自現(xiàn)實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動創(chuàng)造。

從人類社會的發(fā)展史看，人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認識在不斷變化和深化?！皵?shù)學(xué)的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來源于普通常識中的非負整數(shù)，而且直到19世紀中葉，對于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的?！币虼?，19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)、經(jīng)驗科學(xué)，因為那時的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)的觀點逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，這種觀點在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點相對應(yīng)，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問，數(shù)學(xué)家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學(xué)與善》中說，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強有力的技術(shù)?！?931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗科學(xué)的觀點，著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗科學(xué)兩種特性。

本質(zhì)特征

對于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應(yīng)當(dāng)以歷史的眼光來分析，實際上，對數(shù)本質(zhì)特征的認識是隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數(shù)學(xué)對象（作為抽象思維的產(chǎn)物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型，這樣，人們自然地認為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的距離越來越遠，而且數(shù)學(xué)證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認為數(shù)學(xué)是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數(shù)學(xué)理解的深化，也是人們從不同側(cè)面對數(shù)學(xué)進行認識的結(jié)果。正如有人所說的，“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點是不矛盾的，前者反映了數(shù)學(xué)的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈?！倍P(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問的說法，則是從數(shù)學(xué)的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是基于人類對數(shù)學(xué)推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認為，發(fā)展數(shù)學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結(jié)論也一定是真的，通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。

事實上，上述對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認識是從數(shù)學(xué)的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結(jié)果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學(xué)的全貌，組成數(shù)學(xué)整體的另一個非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過程，而且從總體上來說，數(shù)學(xué)是一個動態(tài)的過程，是一個“思維的實驗過程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過程中，數(shù)學(xué)對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴謹科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)?！备ベ嚨撬栒f，“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動，這種觀點“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘，記在腦子里的東西?！彼J為，數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)（活動）內(nèi)容經(jīng)過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數(shù)人來說，他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具，他們不能沒有數(shù)學(xué)是因為他們需要應(yīng)用數(shù)學(xué)，這就是，對于大眾來說，是要通過數(shù)學(xué)的形式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從而學(xué)會相應(yīng)的（應(yīng)用數(shù)學(xué)的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴謹?shù)?、條理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識實體，這一事實并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個創(chuàng)造性過程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類活動，數(shù)學(xué)是由人類發(fā)明的，”數(shù)學(xué)活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構(gòu)成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數(shù)學(xué)是人類意志的表達，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構(gòu)造、一般性與個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強調(diào)不同的側(cè)面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價值?！?

其它解釋

另外，對數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數(shù)學(xué)是一種文化體系”，“數(shù)學(xué)是一種語言”，數(shù)學(xué)活動是社會性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進程中，人類認識自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對人類的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響．也有人認為，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，“和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù)，因為數(shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動，具有和藝術(shù)家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力?！薄皵?shù)學(xué)是推理的音樂，”而“音樂是形象的數(shù)學(xué)”．這是從數(shù)學(xué)研究的過程和數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的品質(zhì)來論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數(shù)學(xué)》一文中認為，數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，“在認識論的意義上它是一門科學(xué)，目標是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對象、現(xiàn)象、關(guān)系和機制等。如果這個領(lǐng)域是由我們通常認為的數(shù)學(xué)實體所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數(shù)學(xué)以內(nèi)在的自我發(fā)展和自我理解為目標，獨立于外部世界，另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外，數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用，數(shù)學(xué)的這兩個側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問題，而是人們所關(guān)注的焦點不同。無論是純粹的還是應(yīng)用的，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個工具、產(chǎn)品以及過程構(gòu)成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動，數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗，作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數(shù)學(xué)也是我們社會的教育體系中的一個教學(xué)科目．”

從上所述可以看出，人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部（又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個角度）。數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個方面來討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為我們?nèi)嬲J識數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個視角。

基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認識，人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點。比較普遍的觀點是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點，其中最本質(zhì)的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數(shù)學(xué)只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數(shù)學(xué)的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛性”王梓坤說，“數(shù)學(xué)的特點是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴謹性和結(jié)論的明確必”這種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來理解數(shù)學(xué)的特點，是數(shù)學(xué)特點的一個方面。另外，從數(shù)學(xué)研究的過程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來看，數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗性?！翱勺C偽性”的特點。對數(shù)學(xué)特點的認識也是有時代特征的，例如，關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴謹性，在各個數(shù)學(xué)歷史發(fā)展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴謹?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學(xué)的嚴謹性是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來的，具有相對性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性，波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?。”正是從這個角度，我們說數(shù)學(xué)的確定性是相對的，有條件的，對數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗性?！翱勺C偽性”特點的強調(diào)，實際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。

研究內(nèi)容

人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。

對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。

人們在對整數(shù)進行運算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。

數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

數(shù)論的發(fā)展簡況

自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。

自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。

在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。

到了十八世紀末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀元。

在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標準化了，把當(dāng)時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

數(shù)論的基本內(nèi)容

數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。

初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的是解析數(shù)論中的篩法。

代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。

數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。

由于近代計算機科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。

數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　?。下面簡要列出幾顆“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題……

在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數(shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。

特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個大偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。

人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。

對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。

人們在對整數(shù)進行運算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。

數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

數(shù)論的發(fā)展簡況

自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。

自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。

在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。

到了十八世紀末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀元。

在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標準化了，把當(dāng)時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

數(shù)論的基本內(nèi)容

數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。

初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。

代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。

數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。

由于近代計算機科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。

數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　?。下面簡要列出幾顆“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題……

在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數(shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。

特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個大偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。

數(shù)學(xué)的定義

定義1：

還是一百多年前,恩格斯給數(shù)學(xué)下的定義是“研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”,空間形式就是指的幾何學(xué)

源自: 高師幾何教學(xué)改革的設(shè)想 《楚雄師專學(xué)報》 2001年 陳萍

來源文章摘要：本文在反思師專幾何教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上 ,提出改革幾何教學(xué)的一些建議

定義2：

數(shù)學(xué)定義是對數(shù)學(xué)發(fā)展的概括和總結(jié).必然具有其階段性與局限性,不存在適合任何時期亙古不變的數(shù)學(xué)定義.3.現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(19世紀末以來)現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是以1873年康托爾(G·Cantor)建立集合論為起點

源自: 從“數(shù)學(xué)是什么”談數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育 《零陵學(xué)院學(xué)報》 2004年 肖家洪

來源文章摘要：<正> 數(shù)學(xué)是什么?這是一個公認的難于回答的問題。1941年,美國數(shù)學(xué)家R·柯朗與H·羅賓斯合作寫了一本書,題目就是《數(shù)學(xué)是什么》。該書緣何不以“什么是數(shù)學(xué)”為題,我想二者是否有所區(qū)別,“數(shù)學(xué)是什么”,

教育學(xué)三大理論

教育理論是通過一系列教育概念、教育判斷或命題，借助一定的推理形式構(gòu)成的關(guān)于教育問題的系統(tǒng)性的陳述。 　　教育理論具有以下三個基本的規(guī)定性：第一，教育理論是由教育概念、教育命題和一定的推理方式構(gòu)成的。因為任何理論必定是通過概念、判斷或命題等基本的思維形式來構(gòu)成的，如果沒有教育概念、教育命題，僅僅是對教育現(xiàn)象的系統(tǒng)描述，即使是系統(tǒng)的，那也不是教育理論，而只是教育現(xiàn)象陳述。第二，教育理論是對教育現(xiàn)象或教育事實的抽象概括。理論在本質(zhì)上超越于具體的事實和經(jīng)驗，盡管它在形式上是一種陳述體系，但它在內(nèi)容上是以濃縮的形式來闡述教育事實和經(jīng)驗的，不是對教育事實和現(xiàn)象的直接復(fù)制，而是間接的抽象反映。第三，教育理論具有系統(tǒng)性。單個的教育概念或教育命題，不借助于一定的邏輯形式，不構(gòu)成一定的系統(tǒng)性，也不能構(gòu)成教育理論，即使它是對教育現(xiàn)象和事實的概括反映，那也許只是一種零散的教育觀念或教育思想。

弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育目標

弗賴登塔爾生于1905年，1930年獲柏林大學(xué)博士學(xué)位．1951年起為荷蘭皇家科學(xué)院院士，1971—1976年任荷蘭數(shù)學(xué)教育研究所所長．?dāng)?shù)學(xué)家布勞威爾的學(xué)生，早年從事純粹數(shù)學(xué)研究．作為著名的數(shù)學(xué)家，弗賴登塔爾非常關(guān)注教育問題，他很早就把數(shù)學(xué)教育作為自己思考和研究的對象，在這一點上弗賴登塔爾與其他科學(xué)家有所不同．弗賴登塔爾一生發(fā)表關(guān)于數(shù)學(xué)教育的著述達幾百篇(部)，其中4本巨著用多種文字出版，在國際上產(chǎn)生了重大影響．它們是：《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》、《播種和除草》、《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象》、《數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)》．

弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想主要有：強調(diào)數(shù)學(xué)教育必須面向社會現(xiàn)實，必須聯(lián)系日常生活實際，注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生從客觀現(xiàn)象找出數(shù)學(xué)問題的能力；用再創(chuàng)造的方法去進行教學(xué)，反對灌輸式和死記硬背；提倡討論式、指導(dǎo)式的教學(xué)形式，反對傳統(tǒng)的講演式的教學(xué)形式．

他的教育思想可用三個詞概括：數(shù)學(xué)現(xiàn)實，數(shù)學(xué)化，再創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)現(xiàn)實是指數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也扎根于現(xiàn)實，并且應(yīng)用與現(xiàn)實。這是Freudenthal數(shù)學(xué)教育理論的出發(fā)點，數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界人類經(jīng)驗的系統(tǒng)化總結(jié)。根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史來看，不管是數(shù)學(xué)概念，還是數(shù)學(xué)定理與公式，都是基于現(xiàn)實世界的需要而一步一步形成的。

在他看來，數(shù)學(xué)化是指人們運用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學(xué)化。簡單的說，運用數(shù)學(xué)方法組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。Freudenthal認為：與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)；還不組說是學(xué)習(xí)“公理化”；與其說是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說是學(xué)習(xí)“形式化”。

具體說來，現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育所說的數(shù)學(xué)化分為兩個層次：水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化。水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是從“生活”到“符號”的轉(zhuǎn)化。垂直數(shù)學(xué)化是從具體問題到抽象概念的轉(zhuǎn)化，是從“符號”到“概念”的轉(zhuǎn)化。

再創(chuàng)造是Freudenthal數(shù)學(xué)教育理論最核心的部分，它是建立在數(shù)學(xué)是人類的一種活動的基礎(chǔ)上的.他反復(fù)強調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實行再創(chuàng)造，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程應(yīng)在個人身上重現(xiàn)，但不是機械的重復(fù)。從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程來看，這是符合人類認知規(guī)律的。

而現(xiàn)實中教材的編排卻是，把思維過程顛倒過來，把結(jié)果作為出發(fā)點，去把其它東西推導(dǎo)出來。Freudenthal稱這種為“教學(xué)法的顛倒”，這種顛倒掩蓋了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的思維過程，若不經(jīng)過再創(chuàng)造，就難以真的理解數(shù)學(xué)，更別談應(yīng)用。