多元函數(shù)求極值b怎么算 高數(shù)多元函數(shù)求極值問題:

清風(fēng)拂面2022-08-13 20:07:151585

高數(shù)多元函數(shù)求極值問題,高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù)求極值,求解數(shù)學(xué)問題:多元函數(shù)求極值,二階偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)極值公式是怎么來的?

本文導(dǎo)航

高數(shù)多元函數(shù)求極值問題:

樓上的回答不太精確,表達(dá)式 F(x,y)=y(tǒng)-x2 表示 拋物線y=x2 的曲線簇,“拋物線平移形成的面”的說法是沒有數(shù)學(xué)含義的~~~

至于極值的求解,樓上正解

設(shè)拋物線上點(diǎn)(a,a^2)和直線上點(diǎn)(b,b-2) ,則所求距離函數(shù)為:

d(a,b)=√[(a-b)^2+(a^2-b+2)^2]

求距離的極值,只需用函數(shù)d(a,b)分別對變量a,b求偏導(dǎo),并分別令其等于零,此處為了簡化計(jì)算,可以用d^2進(jìn)行求導(dǎo),以簡化微分運(yùn)算,不過得到的兩個(gè)方程最高階次為3次,并不好求解。。。

高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù)求極值

該極限不存在。

因 x^2y^2 = (xy)^2 ≤ [(1/2)(x^2+y^2)]^2 = (1/4)(x^2+y^2)^2,

則 lim<x→0, y→0> [1-cos(x^2+y^2)]/[(x^2+y^2)x^2y^2]

≥ lim<x→0, y→0> 4[1-cos(x^2+y^2)]/(x^2+y^2)^3

= lim<x→0, y→0> 2(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)^3

= lim<x→0, y→0> 2/(x^2+y^2) = +∞

求解數(shù)學(xué)問題:多元函數(shù)求極值

多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn),如果都適合不等式

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值。如果都適合不等式

,

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

例1 函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極小值。因?yàn)閷τ邳c(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi)異于(0,0)的點(diǎn),函數(shù)值都為正,而在點(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的,因?yàn)辄c(diǎn)(0,0,0)是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)。

例2函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處函數(shù)值為零,而對于點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi)異于(0,0)的點(diǎn),函數(shù)值都為負(fù),點(diǎn)(0,0,0)是位于平面下方的錐面的頂點(diǎn)。

例3 函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處有極值,則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:

證不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值。依極大值的定義,在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式

特殊地,在該鄰域內(nèi)取,而的點(diǎn),也應(yīng)適合不等式

這表明一元函數(shù)在處取得極大值,因此必有

類似地可證

從幾何上看,這時(shí)如果曲面在點(diǎn)處有切平面,則切平面

成為平行于坐標(biāo)面的平面。

仿照一元函數(shù),凡是能使同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn),從定理1可知,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),例如,點(diǎn)(0,0)是函數(shù)的駐點(diǎn),但是函數(shù)在該點(diǎn)并無極值。

怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢?下面的定理回答了這個(gè)問題。

定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又,令

則在處是否取得極值的條件如下:

(1)時(shí)具有極值,且當(dāng)時(shí)有極大值,當(dāng)時(shí)有極小值;

(2)時(shí)沒有極值;

(3)時(shí)可能有極值,也可能沒有極值,還需另作討論。

這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下:

二階偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)極值公式是怎么來的

各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)為0,這是一個(gè)必要條件。充分條件是這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式為正定或負(fù)定的。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是半正定的則需要進(jìn)一步判斷三階行列式。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是不定的,那么這時(shí)不是極值點(diǎn)。

以二元函數(shù)為例,設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x。,y。)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x。,y。),fy(x。,y。)=0,令

fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。)=b,fyy=(x。,y。)=c

則f(x,y)在(x。,y。)處是否取得極值的條件是

(1)ac-b*b>0時(shí)有極值

(2)ac-b*b<0時(shí)沒有極值

(3)ac-b*b=0時(shí)可能有極值,也有可能沒有極值如果是n元函數(shù)需要用行列式表示。估計(jì)你也沒學(xué)行列式呢。

如果是條件極值,那么更復(fù)雜一些。

大一的時(shí)候數(shù)學(xué)分析講的,網(wǎng)上不好找到教材,建議你看一下大學(xué)課本。

如果需要我可以發(fā)給你pdf。

掃描二維碼推送至手機(jī)訪問。

版權(quán)聲明:本文由尚恩教育網(wǎng)發(fā)布,如需轉(zhuǎn)載請注明出處。

本文鏈接:http://codetoknow.com/view/42905.html

標(biāo)簽: 課程

“多元函數(shù)求極值b怎么算 高數(shù)多元函數(shù)求極值問題:” 的相關(guān)文章

怎么記格林公式高斯公式 關(guān)于格林公式,高斯公式和斯托克斯公式的問題

格林公式 高斯公式,跪求高斯公式和格林公式數(shù)學(xué)應(yīng)用問題注意事項(xiàng),考研數(shù)學(xué)涵蓋就好,總結(jié)的好,不疏漏,高分,關(guān)于格林公式,高斯公式和斯托克斯公式的問題,用高斯公式、格林公式 怎么補(bǔ)面?挖洞?怎樣理解格林公式和高斯公式?高等數(shù)學(xué)中格林公式、高斯公式、斯托克斯公式如何靈活應(yīng)用?本文導(dǎo)航格林公式 高斯公式跪...

西電高等數(shù)學(xué)學(xué)什么 西電三個(gè)頂尖學(xué)科

西電高等數(shù)學(xué)學(xué)什么 西電三個(gè)頂尖學(xué)科

高等數(shù)學(xué)都學(xué)些什么東西呀?高等數(shù)學(xué)具體要學(xué)些什么?高等數(shù)學(xué)學(xué)哪些內(nèi)容,西安電子科技大學(xué)有哪些教授的課是必須要去蹭的,高等數(shù)學(xué)要學(xué)什么?本文導(dǎo)航學(xué)完了高等數(shù)學(xué)學(xué)什么高等數(shù)學(xué)難不難學(xué)高等數(shù)學(xué)的范圍是什么西電三個(gè)頂尖學(xué)科學(xué)高等數(shù)學(xué)首先要學(xué)會哪些學(xué)完了高等數(shù)學(xué)學(xué)什么高等數(shù)學(xué)課程分為兩個(gè)學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)。它的教學(xué)...

學(xué)好高等數(shù)學(xué)看什么書 有什么適合自學(xué)高中數(shù)學(xué)的書

自學(xué)高等數(shù)學(xué)用什么書好?本人高考結(jié)束了 想自學(xué)高數(shù) 不懂有什么書比較適合???如何自學(xué)高等數(shù)學(xué)?該看什么書好?會用到高中那些知識點(diǎn)?高數(shù)入門的必讀書籍有哪些值得推薦,自學(xué) 高等數(shù)學(xué)推薦用什么書?如何學(xué)好數(shù)學(xué) 有什么書可以看嗎?本文導(dǎo)航非理工科想自學(xué)數(shù)學(xué)書籍大學(xué)高數(shù)一般要學(xué)幾本書高中數(shù)學(xué)自學(xué)看哪本書從零...

不等式的定理怎么證明 不等式的基本定理如何證明

不等式的定理怎么證明 不等式的基本定理如何證明

不等式證明怎么學(xué)?不等式的基本定理如何證明?怎么證明托勒密不等式?怎樣用同倫不等式證明?絕對值三角不等式定理證明過程,求解析,高中數(shù)學(xué)不等式證明的八種方法。本文導(dǎo)航不等式證明怎么學(xué)?不等式的基本定理如何證明怎么證明托勒密不等式怎樣用同倫不等式證明?絕對值三角不等式定理證明過程,求解析高中數(shù)學(xué)代數(shù)不等...

高數(shù)法線是什么 切線與法線是什么

高數(shù)法線是什么 切線與法線是什么

什么是法線?高數(shù)導(dǎo)數(shù)一章里提到了法線的概念,研究法線有什么實(shí)際意義嗎?就是為了做題?高等數(shù)學(xué):法線方程怎么求?高數(shù)中?內(nèi)法線與外法線怎么區(qū)分啊?高數(shù)里的法線方程是怎么求?什么是法線?高數(shù)中的內(nèi)外法線方向是什么意思?。勘疚膶?dǎo)航切線與法線是什么高數(shù)三種漸近線的極限定義高數(shù)常見曲線方程公式高數(shù)怎么判斷有沒...

函數(shù)的極限怎么學(xué) 大學(xué)高數(shù)極限應(yīng)該怎么學(xué)

函數(shù)的極限怎么學(xué) 大學(xué)高數(shù)極限應(yīng)該怎么學(xué)

高數(shù)函數(shù)極限部分(包括數(shù)列極限和函數(shù)極限)如何學(xué)習(xí),應(yīng)注意哪些?重點(diǎn)是什么?大學(xué)高數(shù)極限應(yīng)該怎么學(xué)?怎樣求函數(shù)極限?怎么求函數(shù)極限?極限函數(shù)lim重要公式有哪些,解答題的第一問怎么做,函數(shù)極限怎么求?本文導(dǎo)航高數(shù)函數(shù)極限部分(包括數(shù)列極限和函數(shù)極限)如何學(xué)習(xí),應(yīng)注意哪些?重點(diǎn)是什么?大學(xué)高數(shù)極限應(yīng)該...

發(fā)表評論

訪客

◎歡迎參與討論,請?jiān)谶@里發(fā)表您的看法和觀點(diǎn)。