多元函數(shù)求極值b怎么算 高數(shù)多元函數(shù)求極值問題：

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本文導(dǎo)航

• 高數(shù)多元函數(shù)求極值問題：
• 高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù)求極值
• 求解數(shù)學(xué)問題:多元函數(shù)求極值
• 二階偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)極值公式是怎么來的

高數(shù)多元函數(shù)求極值問題：

樓上的回答不太精確，表達(dá)式 F（x,y）＝y(tǒng)－x2 表示 拋物線y＝x2 的曲線簇，“拋物線平移形成的面”的說法是沒有數(shù)學(xué)含義的～～～

至于極值的求解，樓上正解

設(shè)拋物線上點(diǎn)（a,a^2）和直線上點(diǎn)（b,b-2） ,則所求距離函數(shù)為：

d(a,b)=√[(a-b)^2+(a^2-b+2)^2]

求距離的極值，只需用函數(shù)d(a,b)分別對變量a,b求偏導(dǎo)，并分別令其等于零，此處為了簡化計(jì)算，可以用d^2進(jìn)行求導(dǎo)，以簡化微分運(yùn)算，不過得到的兩個(gè)方程最高階次為3次，并不好求解。。。

高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù)求極值

該極限不存在。

因 x^2y^2 = (xy)^2 ≤ [(1/2)(x^2+y^2)]^2 = (1/4)(x^2+y^2)^2,

則 lim<x→0, y→0> [1-cos(x^2+y^2)]/[(x^2+y^2)x^2y^2]

≥ lim<x→0, y→0> 4[1-cos(x^2+y^2)]/(x^2+y^2)^3

= lim<x→0, y→0> 2(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)^3

= lim<x→0, y→0> 2/(x^2+y^2) = +∞

求解數(shù)學(xué)問題:多元函數(shù)求極值

多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都適合不等式

，

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值。如果都適合不等式

，

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值．極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

例1 函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極小值。因?yàn)閷τ邳c(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)。

例２函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處函數(shù)值為零，而對于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點(diǎn)。

例３　函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。

定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：

證不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式

特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式

這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有

類似地可證

從幾何上看，這時(shí)如果曲面在點(diǎn)處有切平面，則切平面

成為平行于坐標(biāo)面的平面。

仿照一元函數(shù)，凡是能使同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)（0，0）是函數(shù)的駐點(diǎn)，但是函數(shù)在該點(diǎn)并無極值。

怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理回答了這個(gè)問題。

定理2（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令

則在處是否取得極值的條件如下：

(1)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；

(2)時(shí)沒有極值；

(3)時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。

這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：

二階偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)極值公式是怎么來的

各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)為0，這是一個(gè)必要條件。充分條件是這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式為正定或負(fù)定的。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是半正定的則需要進(jìn)一步判斷三階行列式。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是不定的，那么這時(shí)不是極值點(diǎn)。

以二元函數(shù)為例，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x。,y。）的某鄰域內(nèi)有連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令

fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。）=b,fyy=(x。,y。）=c

則f(x,y)在（x。,y。）處是否取得極值的條件是

（1）ac-b*b>0時(shí)有極值

（2）ac-b*b<0時(shí)沒有極值

（3）ac-b*b=0時(shí)可能有極值，也有可能沒有極值如果是n元函數(shù)需要用行列式表示。估計(jì)你也沒學(xué)行列式呢。

如果是條件極值，那么更復(fù)雜一些。

大一的時(shí)候數(shù)學(xué)分析講的，網(wǎng)上不好找到教材，建議你看一下大學(xué)課本。

如果需要我可以發(fā)給你pdf。