什么時候要求行列式 如何理解行列式的定義
什么時候用行列式,什么時候用矩陣運算???什么時候用行列式 什么時候用矩陣?行列式的概念、性質(zhì)和計算,行列式是在求解線性方程的情況下引入的一種記號,請問行列式有無形式上的要求? 行列式中行列的地位是否,什么時候用行列式,什么時候用矩陣運算啊 如題?什么時候矩陣可以轉(zhuǎn)化成行列式?
本文導(dǎo)航
行列式和矩陣的區(qū)別和相同點
這要看具體情況
比如3個方程3個未知量的線性方程組
可以用系數(shù)行列式不等于0確定方程組有唯一解
等于0時, 將增廣矩陣用初等行變換化梯矩陣確定無解還是無窮多解
無窮多解時化為行最簡形得到通解
矩陣與行列式的區(qū)別和聯(lián)系表格
這要看具體情況.
比如判斷向量組線性相關(guān)性
若向量的個數(shù)等于向量組的維數(shù),則可用行列式
否則用矩陣
又如解含有參數(shù)的線性方程組
若方程的個數(shù)等于老師的個數(shù), 則可用行列式不等于0排除唯一解的情況
否則只能用矩陣
如何理解行列式的定義
第三節(jié) 行列式的性質(zhì)
根據(jù)n階行列式的定義,計算一個n階行列式,要求n!項n個元素乘積的代數(shù)和.當(dāng)階數(shù)n比較大時,這樣的計算量是很大的,并且用起來不方便,因此我們有必要討論行列式的計算方法.
在這一節(jié),先研究行列式的一些運算性質(zhì),然后利用其性質(zhì)給出一種簡便的計算方法.
設(shè)
把D的各行換成同序號的列,得到一個行列式,記成
,
稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.
顯然,D與 互為轉(zhuǎn)置行列式.
性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等.即
證 記 的轉(zhuǎn)置行列式為
,
則有元素
由定義
由性質(zhì)1知,行列式中“行”與“列”的地位是相同的,行與列具有相同的性質(zhì).
性質(zhì)2 互換行列式的其中兩行(列),行列式改變符號.
證 設(shè)
是由行列式 交換I,j(I<j)兩行得到的,那么有
當(dāng) 時, 于是
最后一式中的行標(biāo)排列 是自然排列,列標(biāo)排列 是由 經(jīng)一次對換得到的.設(shè) 的逆序數(shù)為s,則由對換性質(zhì)有 ,從而
用 表示行列工的第I行,用 表示第I列.交換行列式的第I行與第j行,記作 .類似地,交換第I列與第j列,記作 .
推論 如果行列式其中有兩行(列)完全相同,那么行列式等于零.
證 交換相同的兩行,由性質(zhì)2得, ,于是 .
性質(zhì)3 將行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以k,等于用數(shù)k乘此行列式.
證 記 ,用數(shù)k乘以D的第I行,得
.
由定義
第 行元素乘以數(shù)k,記作 .類似地,第 列元素同乘以數(shù)k,記作 .
推論 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.
第 行(或列)提出公因子k,記作
由性質(zhì)2和性質(zhì)3的推論即得下列性質(zhì).
性質(zhì)4 如果行列式中有兩行(列)的元素對應(yīng)成比例,那么行列式等于零.
性質(zhì)5 如果行列式的某一行(列)元素都是兩個數(shù)之和,那么可以把行列式表示成兩個行列式的和,即
性質(zhì)5由讀者自己證明.
性質(zhì)6 把行列式某一行(列)的元素同乘以數(shù)k,加到另一行(列)對應(yīng)元素上去,行列式的值不變,即
證 設(shè)原行列式為D,變形后得到的行列式為 ,由性質(zhì)5的性質(zhì)4得,
用數(shù)k乘以第j行(或列)加到第 行(或列)上去,記作
由行列式的以上性質(zhì),可以把行列式化簡,化為三角行列式的形式,從而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上(下)三角形法.下面舉一些例子.
例1 計算
解
例2 證明
證 設(shè)此行列式為D,先把D化簡,得
例3 計算n階行列式
解 從行列式D的元素排列特點看,每一列n個元素的和都相等,今把第2,3,…,n行同時加到第1行,提出公因子 ,然后各行減去第一行的b倍,有
行列式的計算技巧與方法
行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等,行與列的地位一樣。
矩陣行列式的運算法則
這要看具體情況
比如3個方程3個未知量的線性方程組
可以用系數(shù)行列式不等于0確定方程組有唯一解
等于0時,將增廣矩陣用初等行變換化梯矩陣確定無解還是無窮多解
無窮多解時化為行最簡形得到通解
怎么理解矩陣的行列式
矩陣轉(zhuǎn)為行列式方法是將矩陣初等變換,化成三角陣,然后主對角線元素相乘,即可得到。
矩陣和行列式的區(qū)別是,行列式只是一個數(shù),是一組數(shù)按一定規(guī)則進行代數(shù)運算的值,而矩陣在本質(zhì)上并不單單是一個數(shù),它是一個二維的數(shù)據(jù)表格,只有方陣才有對應(yīng)的行列式。
具體看下面這幾點:
1.矩陣是一個表格,行數(shù)和列數(shù)可以不一樣;而行列式是一個數(shù),且行數(shù)必須等于列數(shù)。只有方陣才可以定義它的行列式,而對于非方陣不能定義它的行列式。
2.兩個矩陣相等是指對應(yīng)元素都相等;兩個行列式相等不要求對應(yīng)元素都相等,甚至階數(shù)也可以不一樣,只要運算代數(shù)和的結(jié)果一樣就行了。
3.兩矩陣相加是將各對應(yīng)元素相加;兩行列式相加,是將運算結(jié)果相加,在特殊情況下(比如有行或列相同),只能將一行(或列)的元素相加,其余元素照寫。
4.數(shù)乘矩陣是指該數(shù)乘以矩陣的每一個元素;而數(shù)乘行列式,只能用此數(shù)乘行列式的某一行或列,提公因數(shù)也如此。
5.矩陣經(jīng)初等變換,其秩不變;行列式經(jīng)初等變換,其值可能改變:換法變換要變號,,倍法變換差倍數(shù);消法變換不改變。
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