什么矩陣 一定可對角化 矩陣可對角化的判定方法

絲雨如愁2022-09-27 20:01:243008

如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對角化?如何判斷一個(gè)矩陣是否可對角化?為什么實(shí)對稱矩陣一定可以對角化?

本文導(dǎo)航

怎么判斷矩陣能不能對角化

  • 找到一個(gè)矩陣,我們對這個(gè)矩陣進(jìn)行是否能夠?qū)腔呐袛?,我們暫且對把這個(gè)定義成A矩陣

  • 我們需要用到一個(gè)公式,如下圖所示,我們這一步就是直接按照公式套入就可以了。

  • 我們需要把上一步得到的結(jié)果進(jìn)行整理,結(jié)果是一個(gè)行列式。我們就直接按照行列式的展開法則進(jìn)行展開。

  • 我們根據(jù)上一步最終的算式,得出這個(gè)算式的指,也就是這個(gè)行列式的特征根。

  • 我們得到這個(gè)行列式的特征根之后需要做的就是對這兩個(gè)根進(jìn)行討論,然后求出來基礎(chǔ)解系,然后我們根據(jù)基礎(chǔ)解系來判斷是否能夠進(jìn)行對角化。

  • 矩陣可對角化的判定方法

    如果所有特征根都不相等,絕對可以對角化,有等根,只需要等根(也就是重特征值)對應(yīng)的那幾個(gè)特征向量是線性無關(guān)的,那么也可以對角化,如果不是,那么就不能了。

    矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用;計(jì)算機(jī)科學(xué)中,三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。

    將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡化矩陣的運(yùn)算。對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣,例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對角矩陣,有特定的快速運(yùn)算算法。

    擴(kuò)展資料:

    矩陣在物理學(xué)中的另一類泛應(yīng)用是描述線性耦合調(diào)和系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣的形式來表示。

    用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統(tǒng)的解的最優(yōu)方法是將矩陣的特征向量求出(通過對角化等方式)。

    這種求解方式在研究分子內(nèi)部動(dòng)力學(xué)模式時(shí)十分重要:系統(tǒng)內(nèi)部由化學(xué)鍵結(jié)合的原子的振動(dòng)可以表示成簡正振動(dòng)模式的疊加 。描述力學(xué)振動(dòng)或電路振蕩時(shí),也需要使用簡正模式求解 。

    參考資料來源:百度百科-矩陣

    什么樣的矩陣是可對角化的

    實(shí)對稱矩陣一定可以對角化,因?yàn)橄嗨茖腔某湟獥l件是n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,充分條件是A有n個(gè)不同的特征值,而n個(gè)不同的特征值一定對應(yīng)n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,實(shí)對稱矩陣n重特征值對應(yīng)n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以實(shí)對稱矩陣一定可以對角化。

    擴(kuò)展資料:

    實(shí)對稱矩陣的性質(zhì):

    1、實(shí)對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。

    2、實(shí)對稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù),特征向量都是實(shí)向量。

    3、n階實(shí)對稱矩陣A必可對角化,且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

    4、若λ0具有k重特征值,必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量,或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E為單位矩陣。

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    標(biāo)簽: 矩陣

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