極坐標(biāo)交換積分次序怎么看 二重積分極坐標(biāo)變化，交換積分順序上下極限怎么確定

極坐標(biāo)下交換積分次序如何求解呀？ 有圖最好，幫忙解釋一下？在極坐標(biāo)下交換積分次序的一道題，極坐標(biāo)下交換積分次序怎么求解呀？【高數(shù)】交換積分(極坐標(biāo))的次序，二重積分極坐標(biāo)變化，交換積分順序上下極限怎么確定？極坐標(biāo)下，二重積分如何變換積分次序……我到現(xiàn)在都沒搞懂，求學(xué)霸詳解，要有例題，謝謝？

本文導(dǎo)航

• 極坐標(biāo)求二重積分的步驟
• 在極坐標(biāo)下交換積分次序的一道題。
• 極坐標(biāo)下交換積分次序怎么求解呀
• 【高數(shù)】交換積分(極坐標(biāo))的次序。
• 二重積分極坐標(biāo)變化，交換積分順序上下極限怎么確定
• 用極坐標(biāo)計算二重積分角度怎么算

極坐標(biāo)求二重積分的步驟

1、本題的積分區(qū)域，請參看下面的第一張圖片；

2、原來的積分次序，一次性地包括了粉紅色部分跟草綠色部分；

3、交換積分次序后，積分區(qū)域就變成了兩部分 ： 粉紅色部分 + 草綠色部分；

4、極坐標(biāo)積分的積分次序的意思是：

A、先對 r 積分的意思

---一個極經(jīng)，從原點(diǎn)射出 r = 0，射到極坐標(biāo)方程的曲線上；

---然后這個極經(jīng)，逆時針掃過的角度，就是θ的范圍。

B、先對;θ 積分的思想

---從圓心開始畫同心圓弧，圓弧的角度，也就是圓心角 central angle，

; ;逆時針從最下方的曲線或直線上的角度，掃到最上方的曲線或直線上的角度，

; ;這個角度必要用極坐標(biāo)方程表示，也就是必須是 r 的函數(shù)；

---然后從掃過的范圍中，確定 r 是從多少到多少，都是具體的數(shù)字。

有了這些思想，就容易看懂第二張圖片的解答了。

如有疑問，歡迎追問，有問必答、有疑必釋，有錯必糾。

在極坐標(biāo)下交換積分次序的一道題。

1、本題的積分區(qū)域，請參看下面的第一張圖片；

2、原來的積分次序，一次性地包括了粉紅色部分跟草綠色部分；

3、交換積分次序后，積分區(qū)域就變成了兩部分 ： 粉紅色部分 + 草綠色部分；

4、極坐標(biāo)積分的積分次序的意思是：

A、先對 r 積分的意思

---一個極經(jīng)，從原點(diǎn)射出 r = 0，射到極坐標(biāo)方程的曲線上；

---然后這個極經(jīng)，逆時針掃過的角度，就是θ的范圍。

B、先對;θ 積分的思想

---從圓心開始畫同心圓弧，圓弧的角度，也就是圓心角 central angle，

逆時針從最下方的曲線或直線上的角度，掃到最上方的曲線或直線上的角度，

這個角度必要用極坐標(biāo)方程表示，也就是必須是 r 的函數(shù)；

---然后從掃過的范圍中，確定 r 是從多少到多少，都是具體的數(shù)字。

有了這些思想，就容易看懂第二張圖片的解答了。

極坐標(biāo)下交換積分次序怎么求解呀

請仔細(xì)閱讀，體會其中的解題思想：

【高數(shù)】交換積分(極坐標(biāo))的次序。

原積分可寫為∫∫f(r,t)drdt

(以t代替角度)

=∫∫[f(r,t)/r]rdrdt可看成某二重積分

其積分區(qū)域?yàn)閳A心為(a/2,0),半徑為a/2的圓

交換積分順序后,固定

r,原點(diǎn)為圓心r為半徑的圓與上圓交點(diǎn)處的t值為arccos(r/a),-arccos(r/a)

r在(0,a)內(nèi)兩圓有交點(diǎn)

如2L所說

交換后t下限、上限分別為:-arccos(a/r)與arccos(a/r)

r從0到a

而r是否遺漏并不重要

因?yàn)閒(r,t)=[f(r,t)/r]*r可提出r

二重積分極坐標(biāo)變化，交換積分順序上下極限怎么確定

交換順序時，暫時忘掉極坐標(biāo)的含義，把θ與r當(dāng)作直角坐標(biāo)就容易做。

c比如，區(qū)域?yàn)?/p>

x2+y2≤x

極坐標(biāo)系下先ρ后θ的積分區(qū)域表示成

-π/2≤θ≤π/2

0≤ρ≤cosθ

然后，建立以θ為橫坐標(biāo)，ρ為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系，

區(qū)域變成由

ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ軸圍成的區(qū)域，

改變積分次序后，變成

0≤ρ≤1

-arccosρ≤θ≤arccosρ

擴(kuò)展資料：

極坐標(biāo)是指在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。

對于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對 (ρ,θ)就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。通常情況下，M的極徑坐標(biāo)單位為1（長度單位），極角坐標(biāo)單位為rad（或°）。

參考資料來源：百度百科-極坐標(biāo)

用極坐標(biāo)計算二重積分角度怎么算

一般場合，極坐標(biāo)系下二重積分的計算，都是遵循先ρ后θ的形式，少數(shù)場合需要交換次序的時候，按下面步驟來：

(1)先按先ρ后θ的次序?qū)懞谩?/p>

(2)再把關(guān)于ρ和θ的區(qū)域直接轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系。

按照直角坐標(biāo)系下交換積分次序的方法完成。

比如，區(qū)域?yàn)閤2+y2≤x；

極坐標(biāo)系下先ρ后θ的積分區(qū)域表示成-π/2≤θ≤π/2；

0≤ρ≤cosθ；

然后，建立以θ為橫坐標(biāo)，ρ為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系，區(qū)域變成由ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ軸圍成的區(qū)域，改變積分次序后，變成0≤ρ≤1-arccosρ≤θ≤arccosρ這樣就可以了。

二重積分：

二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱為曲面積分。