向量組的秩是什么向量組秩的計(jì)算公式

素錦流年2023-03-15 09:46:412032

向量組的秩定義是什么？通俗解釋向量組的秩，向量組的秩和矩陣秩求法有區(qū)別嗎？向量組的秩怎么求？有沒(méi)有簡(jiǎn)單易懂的方法？試舉例說(shuō)明？向量組秩的性質(zhì)，行向量組的秩和列向量組的秩是什么意思？為什么不直接說(shuō)矩陣的秩？

本文導(dǎo)航

向量組個(gè)數(shù)和向量組的秩的關(guān)系
向量組秩的計(jì)算公式
矩陣的秩的求法
向量組的秩和單個(gè)向量的秩
向量組的秩怎么求例子
為什么矩陣的秩等于向量組的秩

向量組個(gè)數(shù)和向量組的秩的關(guān)系

向量組的秩為線性代數(shù)的基本概念，它表示的是一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。由向量組的秩可以引出矩陣的秩的定義。

向量組秩的計(jì)算公式

都是大姨媽的回答，看你大表叔我的~ 首先為了幫助你明白，你先要弄清楚2個(gè)定義：矩陣的秩的定義：存在K階子式不為0，對(duì)任意K+1階子式均為0，則k即為矩陣的秩。向量組的秩的定義：向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所包含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩。其...3133

矩陣的秩的求法

有區(qū)別

區(qū)別如下：

一、求解過(guò)程不同

1、向量組的秩：一個(gè)m行n列的矩陣可以看做是m個(gè)行向量構(gòu)成的行向量組，也可看做n個(gè)列向量構(gòu)成的列向量組，行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩。

2、矩陣秩：一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無(wú)關(guān)的橫行的極大數(shù)目

二、求解方法不同

1、向量組的秩：一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩；若向量組的向量都是0向量，則規(guī)定其秩為0.向量組α1，α2，···，αs的秩記為R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

2、矩陣秩：m;×;n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。

三、求解目的不同

1、向量組的秩：向量組的秩為線性代數(shù)的基本概念，它表示的是一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。由向量組的秩可以引出矩陣的秩的定義。

2、矩陣秩：矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A)，rk(A)或rank;A。

擴(kuò)展資料：

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A)，rk(A)或rank;A。

在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無(wú)關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點(diǎn)說(shuō)，如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。

參考資料百度百科－矩陣的秩

百度百科－向量組的秩

向量組的秩和單個(gè)向量的秩

把它們列成矩陣，通過(guò)交換行列使第一行第一列的元素不為0，然后消掉第一列所有不為0的數(shù)，再通過(guò)變換使第二行第二列的元素不為0，（不可以交換第一行第一列），再如之前所述，反復(fù)進(jìn)行，直至最后一行，然后有幾個(gè)不為0的行，秩就為幾。

等價(jià)向量組具有傳遞性、對(duì)稱性及反身性。但向量個(gè)數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。

擴(kuò)展資料：

一個(gè)m行n列的矩陣可以看做是m個(gè)行向量構(gòu)成的行向量組，也可看做n個(gè)列向量構(gòu)成的列向量組。行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等于列秩，所以就可成為矩陣的秩。

兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含向量的個(gè)數(shù)相同。等價(jià)的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價(jià)。如果向量組A可由向量組B線性表示，且R（A）=R（B），則A與B等價(jià)。

向量組的秩怎么求例子

定義

極大無(wú)關(guān)組

要定義向量組的秩，首先要定義極大線性無(wú)關(guān)向量組。

向量組T中如果有一部分組α1，α2，···，αr滿足:

α1，α2，···，αr線性無(wú)關(guān);

任取向量組T中β，有α1，α2，···，αr，β線性相關(guān)。

則稱α1，α2，···，αr為向量組T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱為極大無(wú)關(guān)組。

向量組的秩

一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩;若向量組的向量都是0向量，則規(guī)定其秩為0.向量組α1，α2，···，αs的秩記為R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

應(yīng)用

定理

根據(jù)向量組的秩可以推出一些線性代數(shù)中比較有用的定理

向量組α1，α2，···，αs線性無(wú)關(guān)等價(jià)于R{α1，α2，···，αs}=s。

若向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。

等價(jià)的向量組具有相等的秩。

若向量組α1，α2，···，αs線性無(wú)關(guān)，且可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則s小于等于t。

向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，且s>t，則α1，α2，···，αs線性相關(guān)。

任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)。

矩陣的秩

有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個(gè)m行n列的矩陣可以看做是m個(gè)行向量構(gòu)成的行向量組，也可看做n個(gè)列向量構(gòu)成的列向量組。行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等于列秩，所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩在線性代數(shù)中有著很大的應(yīng)用，可以用于判斷逆矩陣和線性方程組解的計(jì)算等方面。