為什么秩不滿 線性相關(guān) 矩陣秩的含義是什么

為什么r個向量的秩 = 矩陣的秩 <= s < r 所以這r個向量線性相關(guān)？為什么滿秩就線性無關(guān)？為什么秩小于列數(shù)就線性相關(guān)？為什么矩陣的秩可以判斷其線性相關(guān)性呢？為什么秩r（A，B）=1，則向量A和B線性相關(guān)？矩陣a的秩小于n(n是未知數(shù)的個數(shù))，為什么a的列向量組線性相關(guān)？求解答？

本文導(dǎo)航

• 矩陣秩的含義是什么
• 線性無關(guān)向量的個數(shù)和秩的關(guān)系
• 滿秩的向量組一定線性無關(guān)嗎
• 伴隨矩陣的秩只有三種可能嗎
• 線性代數(shù)中向量組與秩的關(guān)系
• 不滿秩的矩陣的n次方等于0嗎

矩陣秩的含義是什么

線性無關(guān)就是滿秩。而這里秩小于r，不滿秩，所以線性相關(guān)。

線性無關(guān)向量的個數(shù)和秩的關(guān)系

秩，是指極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)。

滿秩是指，極大線性無關(guān)組中，向量的個數(shù)，和向量組中向量的個數(shù)相等。

這就說明極大線性無關(guān)組把整個向量組的向量全部包括進(jìn)來才行。否則極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)就不可能和向量組的向量個數(shù)相等。

而極大線性無關(guān)組的向量必須是線性無關(guān)的，否則怎么有資格稱“線性無關(guān)組”？

所以，滿秩的向量組，必然線性無關(guān)。這是秩的定義所決定的。

滿秩的向量組一定線性無關(guān)嗎

因?yàn)榭梢詫1α1+x2α2+x3α3=0（假如只有三個向量）視為方程組 (α1, α2, α3)(x1, x2, x3)^T，如果對于行列式(α1, α2, α3)的秩等于其列數(shù)，那么方程組就只有唯一的零解，即x1=x2=x3=0。根據(jù)線性相關(guān)的定義，顯然此時α1, α2, α3線性無關(guān)。

因此只要秩小于列數(shù)那么它們就線性相關(guān)。

伴隨矩陣的秩只有三種可能嗎

內(nèi)容如下：

m×n 矩陣 A ，如果 r(A) = m < n，則行向量組無關(guān)，列向量組相關(guān)。

如果 r(A) = k < min(m，n)，則行向量組、列向量組都相關(guān)。

如果 r(A) = n < m，則列向量組無關(guān)，行向量組相關(guān)。

如果 r(A) = m = n ，則行向量組、列向量組都無關(guān)。

注意事項(xiàng)：

對于任一向量組而言,，不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的。

向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關(guān); 若a≠0, 則說A線性無關(guān)。

包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的。

含有相同向量的向量組必線性相關(guān)。

增加向量的個數(shù)，不改變向量的相關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性相關(guān)的)。

【局部相關(guān)，整體相關(guān)】

減少向量的個數(shù)，不改變向量的無關(guān)性。(注意，原本的向量組是線性無關(guān)的）。

【整體無關(guān)，局部無關(guān)】

一個向量組線性無關(guān)，則在相同位置處都增加一個分量后得到的新向量組仍線性無關(guān)。

【無關(guān)組的加長組仍無關(guān)】

一個向量組線性相關(guān)，則在相同位置處都去掉一個分量后得到的新向量組仍線性相關(guān)。

【相關(guān)組的縮短組仍相關(guān)】

若向量組所包含向量個數(shù)等于分量個數(shù)時，判定向量組是否線性相關(guān)即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關(guān)；否則是線性無關(guān)的。

線性代數(shù)中向量組與秩的關(guān)系

A和B是同維向量。設(shè)維度為n，由於A、B不是常數(shù)而是向量，所以n>=2

C=（A,B）是矩陣，其規(guī)格為Cn,2，n行2列。

從列向量的角度看，由於r(C)=r(A,B)=1<2，C不滿秩，則列向量線性相關(guān)，即A和B線性相關(guān)。

不滿秩的矩陣的n次方等于0嗎

;;;;;;;;;;;;為什么A的行秩小于n，A的行向量組線性相關(guān)?;;;;;;這個可以反著想，如果A的行線性無關(guān)，則說明這n行線性無關(guān)，線性無關(guān)的n個向量(列可以取為n)的行列式不為零。若A的行秩小于n的，則由這n行n列組成的行列式為零，矛盾。因此A的行向量線性相關(guān)。;;;;;;為什么向量組的秩小于向量組的個數(shù)，向量組就線性相關(guān);;;;;;假設(shè)向量組1的極大無關(guān)組為α1、α2、αm，向量組2的極大無關(guān)組為β1、β2、βn，又因?yàn)橄蛄拷M1可由向量組2線性表出，則α1、α2、、αm，可由β1、β2、、βn，線性表出，假設(shè)m>n，(根據(jù)定理 向量組A(s個向量)可由向量組B(t個向量)線性表出，且s>t，則向量組A線性相關(guān)。)則α1、α2、、αm，線性相關(guān)，矛盾，最終可得m