怎么判斷級數(shù)收斂性 怎么判斷級數(shù)的收斂性?

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怎么判斷級數(shù)的收斂性

沒看明白你給的級數(shù)是啥。但是一般來說,判別一個級數(shù)是否發(fā)散。首先看通項un的極限是不是0.如果極限不為0那么∑un必然發(fā)散;如果極限為0,那么∑un就有可能發(fā)散也有可能收斂。得具體分析了

但是一般來說,我們總是希望un能跟我們熟悉的一個數(shù)列去比較。比如如果un>vn。而∑vn是發(fā)散的,那么∑un當(dāng)然更得發(fā)散。舉個例子吧:要你判定∑(1/(n*n^(1/n)))是不是發(fā)散的。那么你第一感覺1/(n*n^(1/n))<1/n對吧?可是∑1/n是發(fā)散的,所以還是不能斷定。但是注意到n^(1/n)在n很大的時候趨于1,所以1/(n*n^(1/n))>1/(2n)。而∑1/(2n)發(fā)散.這下好了,可以斷定∑(1/(n*n^(1/n)))發(fā)散了

這個例子是個典型,具體做題也是遵循這種思路。lz好運

怎樣判斷無窮級數(shù)是否收斂

1、首先,拿到一個數(shù)項級數(shù),我們先判斷其是否滿足收斂的必要條件:

若數(shù)項級數(shù)收斂,則 n→+∞ 時,級數(shù)的一般項收斂于零。

(該必要條件一般用于驗證級數(shù)發(fā)散,即一般項不收斂于零。)

2、若滿足其必要性。接下來,我們判斷級數(shù)是否為正項級數(shù):

若級數(shù)為正項級數(shù),則我們可以用以下的三種判別方法來驗證其是否收斂。(注:這三個判別法的前提必須是正項級數(shù)。)

3、三種判別法

①.比較原則;

②.比式判別法,(適用于含 ;n! 的級數(shù));

③.根式判別法,(適用于含 n次方 的級數(shù));

(注:一般能用比式判別法的級數(shù)都能用根式判別法)

4、若不是正項級數(shù),則接下來我們可以判斷該級數(shù)是否為交錯函數(shù):

5、若不是交錯函數(shù),我們可以再來判斷其是否為絕對收斂函數(shù):

6、如果既不是交錯函數(shù)又不是正項函數(shù),則對于這樣的一般級數(shù),我們可以用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法來判斷。

詳細(xì)條件請參考:

如何判斷一個數(shù)項級數(shù)是否收斂(詳解)_百度經(jīng)驗

http://jingyan.baidu.com/article/b907e627b651b646e6891c7b.html

如何判斷級數(shù)的收斂性

前提:兩個正項級數(shù)∑n=1→ ∞an,∑n=1→ ∞bn滿足0<=an<=bn

結(jié)論:若∑n=1→ ∞bn收斂,則∑n=1→ ∞an收斂

若∑n=1→ ∞an發(fā)散,則∑n=1→ ∞bn發(fā)散。

建議:用比較判別法判斷級數(shù)的收斂性時,通常構(gòu)造另一級數(shù)。根據(jù)另一級數(shù)判斷所求級數(shù)的斂散性。

怎么判斷級數(shù)斂散性

先判斷這是正項級數(shù)還是交錯級數(shù)

  一、判定正項級數(shù)的斂散性

  1.先看當(dāng)n趨向于無窮大時,級數(shù)的通項是否趨向于零(如果不易看出,可跳過這一步).若不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;若趨于零,則

  2.再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或p級數(shù),因為這兩種級數(shù)的斂散性是已知的,如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù),則

  3.用比值判別法或根值判別法進(jìn)行判別,如果兩判別法均失效,則

  4.再用比較判別法或其極限形式進(jìn)行判別,用比較判別法判別,一般應(yīng)根據(jù)通項特點猜測其斂散性,然后再找出作為比較的級數(shù),常用來作為比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)和p級數(shù)等.

  二、判定交錯級數(shù)的斂散性

  1.利用萊布尼茨判別法進(jìn)行分析判定.

  2.利用絕對級數(shù)與原級數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判定.

  3.一般情況下,若級數(shù)發(fā)散,級數(shù)未必發(fā)散;但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)必發(fā)散.

  4.有時可把級數(shù)通項拆分成兩個,利用“收斂+發(fā)散=發(fā)散”“收斂+收斂=收斂”判定.

  三、求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域

  1.若級數(shù)冪次是按x的自然數(shù)順序遞增,則其收斂半徑由或求出,進(jìn)而可以寫出收斂區(qū)間,再考慮區(qū)間端點處數(shù)項級數(shù)的斂散性可得冪級數(shù)的收斂域.

  2.對于缺項冪級數(shù)或x的函數(shù)的冪級數(shù),可根據(jù)比值判別法求收斂半徑,也可作代換,換成t的冪級數(shù),再求收斂半徑.

  四、求冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)的和

  1.求冪級數(shù)的和函數(shù)主要先通過冪級數(shù)的代數(shù)運算、逐項微分、逐項積分等性質(zhì)將其化為幾何級數(shù)的形式,再求和.

  2.求數(shù)項級數(shù)的和,可利用定義求出部分和,再求極限;或轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)的和函數(shù)在某點的函數(shù)值.

  五、將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)

  將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時需根據(jù)已有公式求出傅里葉系數(shù),這時可根據(jù)函數(shù)的奇偶性簡化系數(shù)的計算,然后再根據(jù)收斂性定理寫出函數(shù)與其傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系.

如何判斷交錯級數(shù)發(fā)散

不知道為什么,感覺其他樓都沒有在回答題主的問題。小格調(diào)990的總結(jié)挺好的,但是沒有正面回答題主問題。

法一:

這是個交錯級數(shù),通??梢杂萌R布尼茲判別法:

(un為提取出(-1)的n或n-1次方后,剩下的恒為正的部分。n是下標(biāo)。不理解的話可以百度下交錯級數(shù)的定義。)

un在n趨于∞時,極限為0,且un≥u(n+1)(n與n+1是下標(biāo)。),則收斂。

此處顯然滿足這兩個條件,故收斂。

法二:

這里也可以通過證|un|的無窮級數(shù)收斂來證其絕對收斂,而絕對收斂的級數(shù)收斂,從而證其收斂。

在這里證絕對收斂,即證1/n*2^n的無窮級數(shù)收斂

用正項級數(shù)的判斂法:

  • 比較判斂法:1/n*2^n≤1/2^n,而后者的無窮級數(shù)收斂(證后者的無窮級數(shù)收斂可以用小格調(diào)提到的比式判斂法,這個一般來說是常識,不用證。),故收斂。

    (順帶一提,小格調(diào)提到的比較原則,也就是通常說的比較判斂法,有極限形式,可以百度了解一下)

  • 比式判別法:

  • n趨于∞時,u(n+1)/un=n/2(n+1)=1/2,故收斂。

    3.根式判別法:

    n趨于∞時,un的1/n次方=(1/n)的1/n次方 *1/2=1/2,故收斂。

    怎么判斷級數(shù)的收斂性?

    1、正項級數(shù)比較判別法

    簡而言之,小于收斂正項級數(shù)的必然收斂,大于發(fā)散正向級數(shù)的必然發(fā)散。其中可以存在倍數(shù)關(guān)系,可以將一個級數(shù)放大或縮小再進(jìn)行比較。若用極限形式,就是二者的比值的極限值是一個有限的正數(shù)即可。

    2、任意項級數(shù)阿貝爾判別法

    其中一組級數(shù)收斂;另一組級數(shù)單調(diào)有界;那么二者的乘積構(gòu)成的級數(shù)收斂。

    絕對收斂

    一個收斂的級數(shù),如果在逐項取絕對值之后仍然收斂,就說它是絕對收斂的;否則就說它是條件收斂的。

    簡單的比較級數(shù)就表明,只要∑|un|收斂就足以保證級數(shù)收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數(shù)∑un的收斂,而且把原級數(shù)表成了兩個收斂的正項級數(shù)之差。由此易見,絕對收斂級數(shù)同正項級數(shù)一樣,很像有限和,可以任意改變項的順序以求和,可以無限分配地相乘。

    但是條件收斂的級數(shù),即收斂而不絕對收斂的級數(shù),決不可以這樣。這時式右邊成為兩個發(fā)散(到+∞)的、其項趨于零的、正項級數(shù)之差,對此有黎曼定理。

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